证明三角形三高共点，两种方法…跪求

Answer 1

方法1：

三条高交于一点，叫垂心。设三角形ABC二边上的高为AD，BE，交于H点，连CH延长交AB于F只要证明CF垂直AB即可；

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

在四边形DCEH中，对角之和为180度，

∴四点在一个圆上，

∴<DEC=<CHD(同弧圆周角），

∵四边形ABDE也在同一圆上（同在AB90度弦上），

<CED=<B(外角等于内对角），

而<AHF=<CHD(对顶角）=<B,

∴DBHF四点在一个圆周上,对角之和为180度,

<BFH+<HDB=180度,

∴<BFC=90度,

由此证明CF是AB上的高.。

方法2：向量法。

设H为垂心，向量HA⊥向量BC，HB⊥AC，要证明向量CH⊥AB，

HA•BC=0，HB•AC=0，

向量BC=HC-HB，AC=HC-HA，

HA•BC =HA•（HC-HB）=HA•HC-HA•HB=0，….（1）

HB•AC =HB•（HC-HA）=HB•HC-HB•HA=0，…..（2）

(2)-(1)式，

（HB-HA）•HC-HA•HB+HA•HB=0，

向量BA•HC=0，

∴向量HC⊥BA，

H在CF上，

∴向量CF⊥BA，

即CF是AB边上的高，

即三角形三条高相交于一点。

Answer 2

方法一、
设三角形ABC中AC的高BE，BC的高AF，AF与BE交于O，连接CO，CO延长线交AB于D
证明∠OBD=∠OCE，通过相似证明∠ODB=90度
∵ BE⊥AC，AF⊥BC
∴ RtΔAOE∽RtΔBOF
∴ ∠OBD=∠OAE，∠AOE=90度-∠OAE
∠COE=∠BOD=∠90度-∠DBO
∠ECO=180度-∠EAO-∠AOE-∠COE
=180度-180度+∠OAE-∠OAE+∠DBO
=∠DBO
又，∠BOD=∠COE
∴ ΔOCE∽ΔOBD
∠OEC=∠ODB=90度
即，CD⊥AB
亦即三角形三条高线交于O点
方法二、
证明∠FCO=∠OAD，通过相似证明∠ODA=90度
此略