一道高等数学二重积分的问题，求详细解答

Question

红圈内的两步是如何转化的？请详细说明

Answer 1

第一步，是根据二重积分的性质：三个函数和或差的积分，等于三个函数积分的和或差；这一部应该比较好理解。
第二步：4的积分，根据二重积分的性质，等于区域面积的4倍，区域是圆，半径为1，所以面积为π，所以4的积分等于4π
x的积分，由于积分区域关于y轴对称，而这里的被积函数为x，相对于x而言是奇函数，所以根据奇偶对称性，这个积分的值为0
y的积分，由于积分区域关于y轴对称，而这里的被积函数为y，相对于x而言是偶函数，所以根据奇偶对称性，这个积分的值为在y轴右边（第一象限）部分D1积分的两倍
D1上的积分可以采用极坐标来进行处理，根据极坐标的基本处理方法，ydxdy=ρsinθ*ρ*dρdθ
区域D1在极坐标下的形式为：{（ρ，θ）|0≤θ≤π/2；0≤ρ≤2sinθ}
圆x^2+y^2=2y转化为极坐标方程即为：(ρcosθ)^2+(ρsinθ)^2=2ρsinθ
化简为：ρ^2=2ρsinθ
即：ρ=2sinθ （解ρ=0也包含在这个解里面）

Answer 2

希望对你有帮助。祝你学习愉快！~~

追问

不是x=rcosa，y=rsina吗？
（那个符号不好打，暂用a）
还有就是这两步之间是否省了点步骤？

追答

这里的确是的，不过ρ和θ都是参数，这个参数方程就是起源于圆的参数方程。
准确的说就是平面直角坐标和极坐标之间的转化。

Answer 3

xdxdy的积分是0，用对称性，区域D关于y轴对称，被积函数x是x的奇函数，所以积分是0。
ydxdy的积分先用对称性再用极坐标。D关于y轴对称，被积函数y是x的偶函数，所以积分化为第一象限内区域D1上的积分的2倍。D1上的积分用极坐标，θ从0到π/2，ρ从0到2sinθ，dxdy=ρdρdθ，被积函数y=ρsinθ。

追问

那么那个4pai 也是快速得到的吗

追答

圆的面积的4倍嘛