导数函数问题

Question

函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a>0),设F（x）=f(x)+g(x).
1、求F（x）的单调区间
2、是否存在实数m，使函数y=g(2a/(x平方+1))+m-1的图像与y=f(1+x平方)的图像恰好有四个不同的焦点？若存在，求出m范围，不存在说明理由~

Answer 1

1
F(x)=logx+a/x
F'(x)=1/x-a/x²=1/x(1-a/x)
F'(x)=0时，x=a
单调区间为单调递减区间(-∞,a)和单调递增区间(a,+∞)

2
g(2a/(x²+1))+m-1=(1+x²)/2+m-1
f(1+x²)=log(1+x²)
设G(x)=log(1+x²)-(1+x²)/2-m+1 有4个零点
G'(x)=2x/(1+x²)-x
G'(x)=0
x=1 or x=-1 or x=0
考察G'(x)发现函数G(x)在(-∞,-1)上递增，(-1,0)上递减，(0,1)上递增，(1,+∞)递减
G(-1)=log2-m
G(0)=1/2-m
G(1)=log2-m
∴G(-1)=G(1)>0，G(0)<0
∴1/2<m<ln2