求所有因式分解的方法（包括竞赛的） 带解释

Question

答的好再加分

Answer 1

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Answer 2

因式分解（factorization）

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．

⑴提公因式法
①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.

⑵运用公式法

①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)

⑶分组分解法

分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.

分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.

⑷拆项、补项法

拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.

⑸十字相乘法

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

a \-----/b ac＝k bd＝n

c /-----\d ad＋bc＝m

※ 多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。

追问

还有吗

追答

貌似没了

Answer 3

因式分解有许多方法，方法要记住没错，但是更重要的是具体问题具体对待，下面我写一些常用的方法吧。
1，提公因式法
2，运用公式法
3，分组分解法
4，拆项和添减项法
5，十字相乘法
这些比较常用，剩下的还有 待定系数法，对称多项式，轮换对称多项式法，换元法，余式定理法，求根公式法，短除法等。

最重要的感觉，活学活用

具体可参照 因式分解这个百科词汇：http://baike.baidu.com/link?url=bMBIY2J6PjCxneUxAqCfut72xoQJnbFBADzMXlXXcB_ujzrJ7dq9ocEhbtx9SWfc#2

满意请采纳，不懂可追问

追问

谢谢再次回答/ 双十字相乘法怎么用

谢谢再次回答/ 双十字相乘法怎么用

追答

主要是用来分解二次三项式时的，具体方法不好一句两句说清，楼主可以参照http://baike.baidu.com/link?url=hRyqMwLM63j8gC3V4cJcOtjaINkhZd1Qjlz6HWYAWPZQ2Ko54oyUl3V8mGTRZmxt6zPgI9Xkbydvw7cAdZB1BK#3

追问

求所有满足下列条件的四位数，能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数字的和

追答

虽然你不采纳我的答案，但是我还是给你算了下。答案是2997

追问

关键是过程/一定采纳你

追答

令四位数为abcd，则
1000a+100b+10c+d=111(a+b+c+d)
999a+99b+9c=110(a+b+c+d)
化简得：9(111a+11b+c)=110(a+b+c+d)
所以111a+11b+c能被110整除
∴a+11b+c能被110整除
∵a+c<20
∴b=9
∴a+c=11
a+b+c=20
9(111a+11b+c)=110(a+b+c+d)
9(110a+110)=110(20+d)
∴d=9a-11
∵d<10 ∴a=2
a=2,b=9,c=9,d=7
符合条件的数为：2997