急！高中数学 数列题目 求解答过程

Question

1.在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a1=29,S10=S20.问这个数列的前多少项和最大？并求出这个最大值。【答案：前15项和最大，最大值为225
2.等差数列{an}中，| a3 |=| a9 |,公差D＜0，求其前n项和Sn取最大值时N的值【答案：n=5或n=6
3.设等差数列{an}的前N项和为Sn，若A1= -11，a3+a7= -6,求当Sn取最小值时n的值【答案：n=6
4.设Sn是等差数列{an}的前n项的和，已知S9=18,Sn=240, a n-4=30(n＞9),求n【答案：n=15

Answer 1

1、因为S20-S10=a11+a12+……+a20=10(a11+a20)=10(a15+a16)=0，所以a15+a16=0；因为a1=29，所以a15>0.a16<0,
所以a15=a1+14d=29+14d>0,a16=a1+15d=29+15d<0,所以d=-2,所以前15项的和最大，最大值是15a1+[(15*14)/2]*(-2)=225
2、由题意可知：a3>0,a9<0,a3=-a9,即a3+a9=2a6=0,所以a6=0,即前5项均为正，第6项为0，从第七项开始每项均为负，所以前5项和与前6项和相等，且是前n项和中最大的项；
3、因为a3+a7=2a5=-6,所以a5=-3,又因为a1=-11,所以公差d=(a5-a1)/4=2,又an=-11+2(n-1)=2n-13,所以数列的前6项均为负，从第七项开始每项均为正，所以数列的前6项的和S6最小；
4、S9=9（a1+a9)/2=9a5=18,所以a5=2,又Sn=n(a1+an)/2=n(a5+an-4)/2=n(2+30)/2=240,所以n=15

追问

因为S20-S10=a11+a12+……+a20=10(a11+a20)=10(a15+a16)=0 这一步是怎么来的？


又Sn=n(a1+an)/2=n(a5+an-4)/2 这一步呢?

追答

利用了等差数列的性质，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq