求证4/7小于1/n+1 +1/n+2+......+1/2n小于二分之根号二

Answer 1

f(n)=1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2n-1)-1/2n
=(1+1/2+1/3+...+1/2n)-2(1/2+1/4+...+1/2n)
=(1+1/2+1/3+...+1/2n)-(1+1/2+...+1/n)
=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
证明f(n)＞4/7
f(n)*[(n+1)+(n+2)+(n+3)+……+(2n)]≥(1+1+1+……+1)²=n²
f(n)*{[n*(3n+1)]/2}≥n²
f(n)≥2n²/[n*(3n+1)]=2n/(3n+1)＞2*2/(3*2+1)=4/7
证明f(n)＜√2/2
f²(n)={[1/(n+1)]*1+[1/(n+2)]*1+...+[1/2n]*1}²
≤(1²+1²+1²+……+1²)*[1/(n+1)²+1/(n+2)²+...+1/(2n)²]
=n*[1/(n+1)²+1/(n+2)²+...+1/(2n)²]
＜n*[1/(n)(n+1)+1/(n+1)(n+2)+...+1/(2n-1)(2n)]
=n*[1/n-1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2)+……+1/(2n-1)-1/2n]
=n*(1/n-1/2n)=n*1/2n=1/2
所以f²(n)＜1/2
所以f(n)＜√2/2

追问

那4/7时n取多少呢

最小的极限要逼近什么才能娶到？

Answer 2

附件无法上传，是一篇论文，有很多种证法。

你要的话可以邮箱发给你，希望采纳谢谢。

追问

大于呢

追答

关键是放缩的度要把握好。题目的n不能为1，否则f（1）=1/2，不等式不成立了。

纯手写，希望采纳。

追问

那最小的极限要逼近什么呢？？？什么时候能有4/7？？？

追答

你要极限就用高等数学知识，n趋向无穷，式子值接近于ln2。没有4/7，4/7是题目降低难度，总不能太难，超过中学难度。

题目可以加强为大于7/12,或者减弱为大于1/2,那样题目难度就不一样了。明白了吗？