数学悖论是如何影响数学界以及后世的？

Answer 1

从悖论的产生背景和定义出发，
得出数学悖论是由矛盾引起的。
数学悖论对数学
发展的影响是深刻的、巨大的。因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以
及对数学发展的影响也就是非常必要的。
分析了数学悖论的历史和发展，
得出数学悖
论既引起了著名的三次数学危机，
又推动数学的各个分支不断向前发展，
并提出研究
和解决悖论问题，
不但可以丰富数学理论，
还可以创造出新的科学观点，
促进数学的
研究和推动数学的发展。
可见数学中悖论的产生，
不单是给数学带来危机和失望，
也
给数学的发展带来新的生机和希望。
从而说明数学悖论的出现，
会引导人们向未知领
域进行探索，促进数学的繁荣和发展，具有重要的历史意义。

Answer 2

　　数学悖论，历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。出现了三次这样的数学危机。
　　悖论的定义有很多说法，影响较大的有以下几种，如"悖论是指这样一个命题A,由A出发可以找到一语句B，然后，若假定B真，就可推出~B真,亦即可推出B假。若假定~B真，即B假，又可推导出B真"。又如"悖论是一种导致逻辑矛盾的命题，这种命题，如果承认它是真的，那么它又是现实中不可能有的阶梯假的;如果承认它是假的，那么它又是真的。"再如"如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含了一个悖论。"
　　上述各种悖论定义，都有其合理的一面，但又都不十分令人满意。从潜科学的观点来看，悖论是一种在已有科学规范中无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的科学规范中得到克服，这是悖论的广义定义。
　　悖论有其存在的客观性和必然性，它是科学理论演进中的必然产物，在科学发展史上经常出现，普遍存在于各门科学之中。不仅在语义学、形式逻辑和数理逻辑等领域出现悖论，而且在物理学、天文学、系统论和哲学等领域也经常出现悖论。
　　悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。
　　悖论常常以逻辑推理为手段，深入到原理论的根基之中，尖锐地揭露出该理论体系中潜藏着的无法回避的矛盾，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机。科学危机的产生，往往是科学革命的前兆和强大杠杆，是科学认识飞跃的关节点和开始进入新阶段的重要标志。
　　我国著名数学家徐利治教授指出:"产生悖论的根本原因，无非是人的认识与客观实际以及认识客观世界的方法与客观规律的矛盾，这种直接和间接的矛盾在一点上的集中表现就是悖论。"所谓主客观矛盾在某一点上的集中表现，是指由于客观事物的发展造成了原来的认识无法解释新现实，因而要求看问题的思想方法发生转换，于是在新旧两种思想方法转换的关节点上，思维矛盾特别尖锐，就以悖论的形式表现出来。