y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过（-1，2），与x轴交点横标x1、x2, -2<x1 <-1, 0<x2 <1, 问b2+8a>4ac？

Question

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别是x1、x2,其中 -2<x1 <-1, 0<x2 <1, 问b2+8a>4ac.正确吗？
（注：图形靠不上来，大致是顶点在第2象限，开口向下，对称轴大致在-1和0之间。）

向同行们求助，谢谢！

Answer 1

二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（-1，2），
a-b+c=2
f(-2)=4a-2b+c<0
4a-2(a+c-2)+c<0
2a-c+4<0
2a<c-4<-2
a<-1

b=a+c-2
b2+8a-4ac.
=(a+c-2)^-4a(c-2)
=a^+2a(c-2)+(c-2)^)-4a(c-2)
=a^-2a(c-2)+(c-2)^
=(a-c+2)^2
-2〈x1<-1,0<x2<1.
抛物线的对称轴-1<-b/2a<0
抛物线的开口向下：a<0
0>b>2a
a+c-2>2a
a-c+2<0
所以(a-c+2)^2＞0
即：b＾2+8a-4ac＞0
b＾2+8a＞4ac

完整题目,仅供参考:

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，（a<0 ，顶点在第二象限)下列结论：
①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b2+8a＞4ac.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案是D

1.由题设知，二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0) 的图象的开口向下，即 a＜0，
当x=-2时，y=4a-2b+c，由图象知，点（-2，4a-2b+c）在第三象限，∴4a-2b+c＜0，

2.又-2< x1 <-1 , 0< x2 <1 ，∴-2< x1+x2 <0，由方程ax²+bx+c=0的根与系数的关系，x1+x2=-b/a
∴-b/a＞-2，因为a＜0，所以-b＜-2a，即2a-b<0，

3.由图象知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，当x=1时，y=a+b+c＜0，∴[（a+c）-b][（a+c）+b]＜0，
即（a+c)²-b²＜0，又 ( -1,2 )在抛物线y=ax²+bx+c上，∴a-b+c=2 ，a+c=b+2
∴ （b+2)²-b²＜0 ，∴b ＜ -2， 而b=a+c-2 ∴ a+c-2 ＜ -2 ， ∴ a+c＜0 （1）
又4a-2b+c＜0 即4a-2（a+c-2 ）+c ＜0 ∴2a-c＜-4 （2），（1）+（2）得a＜-4/3＜-1

4.∵b²+8a-4ac=b²+4a（2-c），而a-b+c=2 ，2-c=a-b
∴b²+8a-4ac=b²+4a（2-c）= b²+4a（a-b）= b²-4ab+4a²=（b-2a)²＞0 （b ≠2a，否则对称轴为
x=-1,与-2< x1 <-1 , 0< x2 <1矛盾 ） 即 b²+8a-4ac＞0，∴b²+8a＞4ac

==================================================

对称轴为-b/2a=(x1+x2)/2
因为-2<x1<-1,0<x2<1,所以-1<-b/2a<0
又抛物线开口向下，所以a<0，所以2a<b<0，所以2a-b<0

由图形可知，f(-2)<0，所以4a-2b+c<0

因为图形过点(-1,2)，所以顶点的纵坐标(4ac-b^2)/4a>2
整理得b^2+8a>4ac

Answer 2

二次函数
y=ax^2+bx+c的图象经过点（-1，2），
a-b+c=2
f(-2)=4a-2b+c<0
4a-2(a+c-2)+c<0
2a-c+4<0
2a
b>2a
a+c-2>2a
a-c+2<0
所以(a-c+2)^2＞0
即：b＾2+8a-4ac＞0
b＾2+8a＞4ac
完整题目,仅供参考:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，（a<0
，顶点在第二象限)下列结论：
①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b2+8a＞4ac.
其中正确的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案是D
1.由题设知，二次函数
y=ax²+bx+c
(a≠0)
的图象的开口向下，即
a＜0，
当x=-2时，y=4a-2b+c，由图象知，点（-2，4a-2b+c）在第三象限，∴4a-2b+c＜0，
2.又-2<
x1
<-1
,
0<
x2
<1
，∴-2<
x1+x2
<0，由方程ax²+bx+c=0的根与系数的关系，x1+x2=-b/a
∴-b/a＞-2，因为a＜0，所以-b＜-2a，即2a-b<0，
3.由图象知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，当x=1时，y=a+b+c＜0，∴[（a+c）-b][（a+c）+b]＜0，
即（a+c)²-b²＜0，又
(
-1,2
)在抛物线y=ax²+bx+c上，∴a-b+c=2
，a+c=b+2
∴
（b+2)²-b²＜0
，∴b
＜
-2，
而b=a+c-2
∴
a+c-2
＜
-2
，
∴
a+c＜0
（1）
又4a-2b+c＜0
即4a-2（a+c-2
）+c
＜0
∴2a-c＜-4
（2），（1）+（2）得a＜-4/3＜-1
4.∵b²+8a-4ac=b²+4a（2-c），而a-b+c=2
，2-c=a-b
∴b²+8a-4ac=b²+4a（2-c）=
b²+4a（a-b）=
b²-4ab+4a²=（b-2a)²＞0
（b
≠2a，否则对称轴为
x=-1,与-2<
x1
<-1
,
0<
x2
<1矛盾
）
即
b²+8a-4ac＞0，∴b²+8a＞4ac
==================================================
对称轴为-b/2a=(x1+x2)/2
因为-2
2
整理得b^2+8a>4ac

Answer 3

二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（-1，2），
a-b+c=2
f(-2)=4a-2b+c<0
4a-2(a+c-2)+c<0
2a-c+4<0
2a<c-4<-2
a<-1
b=a+c-2
b2+8a-4ac.
=(a+c-2)^-4a(c-2)
=a^+2a(c-2)+(c-2)^)-4a(c-2)
=a^-2a(c-2)+(c-2)^
=(a-c+2)^2
-2〈x1<-1,0<x2<1.
抛物线的对称轴-1<-b/2a<0
抛物线的开口向下：a<0
0>b>2a
a+c-2>2a
a-c+2<0
所以(a-c+2)^2＞0
即：b＾2+8a-4ac＞0
b＾2+8a＞4ac
完整题目,仅供参考:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1,2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，（a<0
，顶点在第二象限)下列结论：
①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b2+8a＞4ac.
其中正确的有(
)
a.1个
b.2个
c.3个
d.4个
答案是d
1.由题设知，二次函数
y=ax²+bx+c
(a≠0)
的图象的开口向下，即
a＜0，
当x=-2时，y=4a-2b+c，由图象知，点（-2，4a-2b+c）在第三象限，∴4a-2b+c＜0，
2.又-2<
x1
<-1
,
0<
x2
<1
，∴-2<
x1+x2
<0，由方程ax²+bx+c=0的根与系数的关系，x1+x2=-b/a
∴-b/a＞-2，因为a＜0，所以-b＜-2a，即2a-b<0，
3.由图象知，当x=-1时，y=a-b+c＞0，当x=1时，y=a+b+c＜0，∴[（a+c）-b][（a+c）+b]＜0，
即（a+c)²-b²＜0，又
(
-1,2
)在抛物线y=ax²+bx+c上，∴a-b+c=2
，a+c=b+2
∴
（b+2)²-b²＜0
，∴b
＜
-2，
而b=a+c-2
∴
a+c-2
＜
-2
，
∴
a+c＜0
（1）
又4a-2b+c＜0
即4a-2（a+c-2
）+c
＜0
∴2a-c＜-4
（2），（1）+（2）得a＜-4/3＜-1
4.∵b²+8a-4ac=b²+4a（2-c），而a-b+c=2
，2-c=a-b
∴b²+8a-4ac=b²+4a（2-c）=
b²+4a（a-b）=
b²-4ab+4a²=（b-2a)²＞0
（b
≠2a，否则对称轴为
x=-1,与-2<
x1
<-1
,
0<
x2
<1矛盾
）
即
b²+8a-4ac＞0，∴b²+8a＞4ac
==================================================
对称轴为-b/2a=(x1+x2)/2
因为-2<x1<-1,0<x2<1,所以-1<-b/2a<0
又抛物线开口向下，所以a<0，所以2a<b<0，所以2a-b<0
由图形可知，f(-2)<0，所以4a-2b+c<0
因为图形过点(-1,2)，所以顶点的纵坐标(4ac-b^2)/4a>2
整理得b^2+8a>4ac

Answer 4

没人知道。