数分笔记：函数合集，配有常见写法图片

Answer 1

函数合集

函数定义:在某一变化过程中，设有两个变量x和y，D是一个给定的非空数集。若对每一个数x∈D,变量y按照一定法则f总有唯一确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x),x∈D。x为自变量，y为应变量，数集D称为这个函数的定义域。

函数相同的充分必要条件是他们的定义域和对应法则相同。

常见函数类型包括：

1. 代数函数，例如幂函数y=x^α，不论α取什么值，在区间(0，∞)内总是有定义的，且图形均经过点(1,1)。常见形式有y=x, y=x^2, y=x^3, y=1/x, y=√x, y=∛x。

2. 有理函数，形式为y=P_n (x)=a_0 x^n+a_1 x^(n-1)+⋯+a_(n-1) y+a^n，系数a_0,a_1,…,a_n是实数。

3. 有理分式函数，是两个多项式之商，例如1/(x+1), 2x/(x^2+1)。

4. 无理整函数，是多项式函数被开放式的结果，形式如y=√(k&P_n (x) ) (k=2,3)。

5. 无理分式函数，分子或分母至少有一个无理整函数，形式为y=(√(k&P_n (x) ) )/(Q_m (x)), y=(P_n (x))/√(l&Q_m (x)), y=√(k&P_n (x) )/√(l&Q_m (x))。

常用代数公式包括：

(a±b)^2=a^2±2ab+b^2, 〖(a±b)〗^3=a^3±3a^2 b+3ab^2±b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2, a^3±b^3=(a±b)(a^2∓ab+b^2)。

指数函数形式为y=a^x (a>0且a≠1),在(-∞,+∞)内定义。当0<1时，y=a^x单调减少；当a>1时，y=a^x单调增加。曲线与直线x=1的交点位置受a值影响。

对数函数是指数函数y=a^x的反函数，定义域为x∈(0,∞)。当a>1时，y=〖log〗_a x严格单调增加；当0<1时，y=〖log〗_a x严格单调减少。曲线与直线y=1的交点位置受a值影响。

三角函数包括正弦函数y=sinx, 余弦函数y=cosx, 正切函数y=tanx, 余切函数y=cotx, 正割函数y=secx, 余割函数y=cscx。具体性质如周期性、有界性、奇偶性及渐近线等。

和差积公式如sinα+sinβ, sinα-sinβ, cosα+cosβ, cosα-cosβ, sinαsinβ, sinαcosβ, cosαcosβ。

反三角函数包括反正弦函数y=arcsinx, 反余弦函数y=arccosx, 反正切函数y=arctanx, 反余切函数y=arccotx。定义域、值域、图像及单调性等。

黎曼函数R(x)定义在(0,1)区间内，任何无理点连续，任何有理点不连续。狄利克雷函数D(x)定义在实数上，当x为有理数时值为1，无理数时值为0。符号函数sgnx定义在实数上，x>0时值为1，x=0时值为0，x<0时值为-1。