如何用数学方法证明极限的存在性？

Answer 1

数列极限的运算法则如下：

前提条件：

各数列均有极限；

相加减时必须是有限个数列才能用法则。

极限的三大性质：

极限的唯一性、极限的有界性、极限的保序性。

极限的定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a（即 无限地接近于0），a叫数列的极限，可记做当n→+∞时，an→a。

an无限接近于a的方式有三种：

递增的数列，an无限接近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a；

递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a；

摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a。

严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足 ，a叫数列的极限。

“ xn 以 a 为极限”的几何解释：

将常数a及数列各项x1,x2,...,xn,...在数轴上找出相应的点，再在数轴上作开区间(aε,a+ε)。

当 n>N 时，满足 |xn−a|<ε ，亦即满足 a−ε<xn<a+ε 。也就是说从 N+1 开始，以后无穷多项都落在开区间 (a−ε,a+ε)内。