一个实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是它与单位矩阵合同

Question

具体怎么证明？

Answer 1

实对称阵a是正定阵
则a的特征值{a1,a2,..,an}都是正的
而实对称阵是正交相似于对角阵diag(a1,..,an)
即有正交阵p使得a=p'diag(a1,a2,..,an)p
=p'diag(√a1,√a2,...,√an)·diag(√a1,√a2,...,√an)p
记q=diag(√a1,√a2,...,√an)p，则
a=q'q，即a与单位阵合同
反之若a与单位阵合同，即存在可逆阵s，使得
设a=s's。则对任意非零向量x，有x'ax=x's'sx=(sx)'(sx)>0
∴a是正定的