1/2+1/3+1/4+...+1/?

Answer 1

【计算答案】

【计算思路】由于

所以原算式可以写成

再根据自然数的倒数之和的公式

接下来，该问题就可得到结果了。

【计算过程】解：

【本题知识点】

1、【欧拉常数】γ=0.577215664902138

2、【1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)的证明】

根据Newton（牛顿）的幂级数有：

ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x² + 1/3x³ - ...

于是：

1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x² - 1/3x³ + ...

代入x=1，2，...，n，就给出：

1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...

1/2 = ln(3/2) + 1/2×4 - 1/3×8 + 1/4×16 - ...

......

1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n² - 1/3n³ + ...

相加，就得到：

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2×(1+1/4+1/9+...+1/n²) - 1/3×(1+1/8+1/27+...+1/n³) + ......

后面那一串和都是收敛的，我们可以定义

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r

Euler近似地计算了r的值，约为0.5772156649。这个数字就是后来称作的欧拉常数，其表达式为：

【matlab解】

s=0;  %初始化

for i=1:2022 

s=s+i/(i+1);  %从1到2022累加

end

s  %计算结果