为什么只有方阵才有逆矩阵？

Question

非方阵一定不可以有逆矩阵吗？理由呢？
为什么就不能满足？我还是不明白，能举个例子吗

Answer 1

因为含有逆矩阵的前提条件为必须为矩阵。

设A为数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E  ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

性质定理

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

扩展资料：

证明

1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C

2、假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

3、由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。

4、矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

5、由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

参考资料来源：百度百科—逆矩阵

Answer 2

设A为m*n矩阵，m≠n。有两种可能：

(1) m>n。设A有逆矩阵P，则AP=E，其中E为单位方阵且行数=A的行数=m，即E为m阶单位方阵。所以
m=rank(E)=rank(AP)
<=min{rank(A),rank(P)}<=rank(A)
<=min{m,n}=n，
矛盾；

(2) m<n。设A有逆矩阵P，则PA=E，其中E为单位方阵且列数=A的列数=n，即E为n阶单位方阵。所以
n=rank(E)=rank(PA)
<=min{rank(P),rank(A)}<=rank(A)
<=min{m,n}=m，
矛盾

Answer 3

首先要知道什么是可逆矩阵，如果A是可逆矩阵，则存在可逆矩阵B，使AB，BA都是单位矩阵，如果不是方阵，你说能满足这个条件吗

Answer 4

设A为m*n矩阵，m≠n。有两种可能：
(1)
m>n。设A有逆矩阵P，则AP=E，其中E为单位方阵且行数=A的行数=m，即E为m阶单位方阵。所以
m=rank(E)=rank(AP)
<=min{rank(A),rank(P)}<=rank(A)
<=min{m,n}=n，
矛盾；
(2)
m<n。设A有逆矩阵P，则PA=E，其中E为单位方阵且列数=A的列数=n，即E为n阶单位方阵。所以
n=rank(E)=rank(PA)
<=min{rank(P),rank(A)}<=rank(A)
<=min{m,n}=m，
矛盾