代数：不等式（1） 常用不等式

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本文整理竞赛中常使用的不等式，便于快速查阅与应用。

一、常用均值不等式

1. 基础均值不等式：若a, b 为任意实数，则有 a^2 + b^2 ≥ 2ab。
2. 加权形式：若a_i, b_i (i = 1, 2, ..., n) 为实数，w_i 为正实数，且Σw_i = 1，则有 Σ(w_i * a_i)^2 + Σ(w_i * b_i)^2 ≥ 2Σ(w_i * a_i * b_i)。

二、幂平均不等式

1. 幂平均不等式：若a, b 为正实数，p 为任意实数，则有 a^p * b^(1-p) ≤ (a^p + b^(1-p))/2。
2. 加权形式：若a_i, b_i (i = 1, 2, ..., n) 为正实数，w_i 为正实数，且Σw_i = 1，则有 Σ(w_i * a_i^p) * Σ(w_i * b_i^(1-p)) ≤ (Σ(w_i * a_i^p + w_i * b_i^(1-p)))/2。

三、琴生不等式

琴生不等式：若函数f(x)在区间[a, b]上单调且连续，x1, x2, ..., xn ∈ [a, b]，且λ1, λ2, ..., λn为正实数，Σλ_i = 1，则有f(Σλ_i * x_i) ≤ Σλ_i * f(x_i)。

四、柯西不等式与赫尔德不等式

1. 柯西不等式：若(a_1, a_2, ..., a_n)与(b_1, b_2, ..., b_n)为任意实数，则有 (Σa_i^2) * (Σb_i^2) ≥ (Σa_i * b_i)^2。
2. 赫尔德不等式：若(a_1, a_2, ..., a_n)与(b_1, b_2, ..., b_n)为任意正实数，p, q为正实数且1/p + 1/q = 1，则有 (Σa_i^p)^(1/p) * (Σb_i^q)^(1/q) ≥ Σa_i * b_i。

五、闵可夫斯基不等式

若(a_1, a_2, ..., a_n)与(b_1, b_2, ..., b_n)为任意实数，则有 Σ|a_i + b_i| ≤ Σ(|a_i| + |b_i|)。

六、广义伯努利不等式

若x > 0，n为正整数，则有 (1 + x)^n ≥ 1 + nx。

七、其他不等式

1. 排序不等式：若a, b, c为任意实数，则有 a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + ac + bc。
2. 切比雪夫不等式：若(a_1, a_2, ..., a_n)与(b_1, b_2, ..., b_n)为任意实数，则有 (Σ|a_i - b_i|) ≤ Σ(|a_i| + |b_i|)。
3. 舒尔不等式：若x, y, z为非负实数，则有 x^k * y^l * z^m ≥ (x + y + z)^(k+l+m) * (xyz)^(k+l+m)。
4. 嵌入不等式：若(a_1, a_2, ..., a_n)与(b_1, b_2, ..., b_n)为任意实数，则有 Σ(a_i + b_i)^2 ≤ 2(Σa_i^2 + Σb_i^2)。

八、卡尔松不等式

若(a_1, a_2, ..., a_n)与(b_1, b_2, ..., b_n)为任意实数，则有 Σ(a_i^p * b_i^q) ≤ (Σa_i^p) * (Σb_i^q)。

以上不等式涵盖了竞赛中常见的多种类型，掌握这些不等式的使用方法与技巧，将对解题过程起到关键作用。