陀螺原理，关于进动原理的解释？

Question

当其自转轴的轴线不再呈铅直时，会发现自转轴会沿着铅直线作旋转，此即“旋进”现象。我知道这个原理，但我想了解以下两点：
关于角动量和进动的公式；
关于上公式的引出和证明。
谢谢，不甚感激！

Answer 1

陀螺、车轮等受重力而产生的进动：高速旋转的物体存在一个角速度，方向符合右手螺旋定则。重力的力矩m=l×f（注意，是叉乘），其方向也符合右手螺旋定则。在旋转体中，角速度方向与转轴方向平行。根据叉乘的性质，力矩方向始终垂直于转轴方向，即始终垂直于角速度方向。而力矩直接引起角速度的改变（可类比力引起速度的改变），所以角速度方向不断改变。又因为力矩始终拉着角速度往垂直于角速度的方向走，所以角速度方向绕轴旋转。转轴划出一个圆形的轨迹。
原子受电磁力的磁矩进动：原子的磁矩与自旋方向相同，所以它在恒稳磁场中受到的磁力矩г=
m×h（m是磁矩矢量，h是磁场强度矢量。叉乘）也可以产生同样的效果，让磁矩和自旋轴进动。

Answer 2

角动量守恒是中学物理学习的，其推导过程我就不说了啊，其实就是牛顿第二定律的推论，其方向用右手螺旋定则判定，一般角动量定义为H（大写粗体，代表矢量），陀螺仪的角动量指的是它的动量矩。

由角动量守恒可以得到
dH\dt=M
M是作用在陀螺仪上的合外力矩。

同时，dH\dt还代表什么物理量呢？很明显是陀螺仪的矢端速度V
由此我们可以得到
V=M（均为大写，矢量）
两个矢量相等就代表了大小相等，方向平行，也就是矢端速度方向与合外力矩方向平行，所以转子此时运动应该是一方面自转，一方面作画圆锥轨迹运动，也就是进动。

如果还要继续推导的话，可以得到一个更明了的公式
w（欧美噶）* H ＝ M（全为大写，矢量）
这样你就可以更清晰地理解三自由度陀螺仪为什么推外环而内环进动。

资料来源：秦永元 《惯性导航》 科技出版社 18－20页，有详细地推导过程，一推导就全明白了

Answer 3

陀螺仪的主轴的动量矩H矢端进动快慢，用进动角速度ωp来表示。在外力矩MY作用下的进动角速度应是作用在OZ轴上的矢量ωpz（因进动是绕OZ轴的！）ωpz的方向用右手法则确定，如图1-5所示，右手四指沿着H矢端进动方向握住OZ轴（进动时绕着转的轴！）伸开大拇指，则大姆指指示的方向就是ωp的矢量方向。若外力矩作用在陀螺仪的OZ轴正向，即有+MZ，如图所示，则所产生的进动是绕OY轴的，ωpy作用于OY轴的负向，即有-ωpy。
进动角速度的大小与什么有关呢？下面公式阐明动量矩 、外力矩 与进动角速度 三者之间的关系。
wpH=M（1）
式（1）称为陀螺仪的进动公式。它的物理意义是很明显的。一个陀螺仪，当H为常数时（实用的陀螺仪，一般H也就不变了），在外力矩M作用下，发生进动，显然M越大，进动越快。明显的表现出陀螺仪的进动特点。当M比较小时，进动就慢了；当M=0时，ωp=0，说明它不进动了，表现出它的定轴性。从另一个角度说，当M为常数时，比如仅作用有很小的常值干扰力矩，则陀螺仪的H越大，进动角速度越小，表明主轴越不易改变空间指向，即主轴容易稳定。