公司要求员工离职后重新签订其他公司的劳动合同是否有影响，另外需要签订司龄延续协议

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肯定有影响，如果工作不变，劳动合同变更，相当于变更用人单位，将来与原公司有争议的，需要一年内申请劳动仲裁。当然，一般还想继续干的话，大概率得妥协，这个司龄延续协议对你应该是有利的，至少能确认变更前后单位是有关联关系的，如果前后两家是吸收合并关系，则权利义务由存续公司承继。如果是完全独立的两个无关单位，甚至是派遣公司，那就相当于变更工作、换了单位的效果。