【教学向】在这个P≠NP的世界里幸福地活下去吧！——用Python在半小时内求解n=200的旅行者商人问题

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在电影《铃芽之旅》中，主角铃芽面临一项挑战：在有限的资金下，与草太合作关闭九州之外的门以防止地震，同时需找到最小费用的路径。这个难题被归结为计算机科学中的旅行者商人问题（TSP），一个被认为是NP完全问题的经典案例，表明在P≠NP的世界里，精确算法往往需要指数时间。尽管如此，现实中人们仍需面对大规模的TSP问题，这促使我们寻找更有效的解决方案，如启发式算法和运筹学中的分支定界法和分支切割法。

整数规划是运筹学的强大工具，将TSP转化为一个整数规划问题，最初的方法是通过二元变量确定访问顺序，但这样模型庞大。另一种方法是考虑边的选择，通过边的二元变量构建模型，虽然初始约束难以保证唯一环路，但通过增加subtour elimination constraint可以确保形成一个完整的环。分支定界法通过递归地分割问题，利用线性规划的上界限制搜索空间，剪枝不必要的计算，即使在最坏情况下也能大幅减少计算量。

分支切割法引入延迟约束，先加入部分约束求解，只有在违反未加入的约束时才逐步增加。实际问题中，往往少数关键约束就能保证全局最优。例如，在TSP中，通过求解全局最小割问题来决定何时添加新的约束。这些方法在实际应用中展现了强大的效率，比如在代码实现中，即便面对大规模问题也能快速求解，与超级计算机相比，展现出算法的优越性。

通过《铃芽之旅》的故事，我们理解到，即使在理论难题面前，生活中的决策者往往能找到实际可行的解决方案，这正是运筹学和算法在复杂世界中的应用魅力所在。