复变函数——解析函数（1）——解析函数

Answer 1

复数作为平面的点，代表了一个实的二维向量，由于向量没有除法，实函数在平面区域上的应用仅涉及偏导数。然而，复数具备除法操作，因此我们有必要考察复变量的可导性。

定义1：设函数 [公式] 在区域 [公式] 上，如果极限 [公式] 存在（[公式] 为有限复值），则称 [公式] 在 [公式] 处可导。该极限值 [公式] 被记为 [公式] ，表示 [公式] 在 [公式] 处的导数。

定义2：如果存在 [公式] 的一个邻域 [公式]，使得 [公式] 在邻域 [公式] 内的每一点都可导，我们就称 [公式] 在 [公式] 处解析。如果 [公式] 在 [公式] 内的每一点都可导，则称 [公式] 为 [公式] 内的解析函数，有时也称为 [公式] 内的全纯函数。

关于复变量的求导与实变量的求导一致，这一点在本文中不再赘述。

例1：设 [公式] 是区域 [公式] 上的实值函数，则 [公式] 在D上解析的充要条件是 [公式] 在 [公式] 上为常数。

证明：充分性显而易见，接下来证明必要性。

任取 [公式] ，令 [公式] ，则 [公式] 为实数；若取 [公式] ，则 [公式] 为虚数。因此必须 [公式] ，即 [公式] 为常数。

由此，我们得出一个常用推论：

推论1：若两个解析函数的实部（或虚部）相同，则这两个解析函数仅相差一个常数。

定义3：区域 [公式] 上的解析函数 [公式] 称为单叶解析函数，若对任意 [公式] ，则 [公式] 。

定义4：设 [公式] 为 [公式] 中的区域，映射 [公式] 称为解析同胚（或全纯同胚），如果 [公式] 是区域 [公式] 上的单叶解析函数， [公式] ，且 [公式] 的反函数 [公式] 也是解析的。若 [公式] ，则称 [公式] 为 [公式] 的全纯自同胚。

解析同胚也称为共形映射，该概念将在后续章节中详细讨论。

对于解析函数的反函数，我们有以下定理：

定理1：设 [公式] 是区域 [公式] 上的单叶解析函数，则（1）[公式] 在 [公式] 上处处不为零；（2）[公式] 是 [公式] 中的区域；（3）[公式] 在 [公式] 上解析，并且 [公式] 。只要解析函数 [公式] 在 [公式] 上为单射，则 [公式] 必定成为解析同胚。

关于此定理的证明将在后续章节中提供详细内容和相关链接，目前我们暂不探讨其证明过程，假设读者为复变函数的初学者。