空间距离例2

Answer 1

已知正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求直线BC1到截面ACD1的距离。

分析：因为正方形的性质，BC1平行于AD1，所以BC1平行于平面ACD1。根据线面距离的概念，BC1到平面ACD1的距离就是BC1上任一点到平面ACD1的垂直线段长度，也可以看作是过BC1且与平面ACD1平行的平面与平面ACD1之间的距离。

解法一：过BC1上任一点作垂线段连接B1D和B1C，设B1C与BC1交于E点。取DC的中点F，连接EF和BF。设BF与AC交于H点。过H点作HG平行于EF交BE于G点。

正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，所以B1D垂直于平面ACD1。E为CB1的中点。因此，EF垂直于平面ACD1。因此，GH垂直于平面ACD1。所以，GH的长度就是BC1到平面ACD1的距离。

正方形的性质：DC平行于AB，F为DC的中点，所以FH与BH的比为1:2。因此，BH与BF的比为2:3。所以，HG等于EF的长度，即为1/2。所以，BC1到平面ACD1的距离为1/2。

评注：如果按照定义，通过BC1上的任意一点作垂直于平面ACD1的线，垂足落在哪里？能否利用已知条件？通常情况下，为了方便计算，我们不会这样做，而是利用图形的性质或构造平行平面来找到垂线段。这里利用了正方体体对角线垂直于不相交的面对角线的特性以及同一面的垂直线平行的性质，找到了垂线段GH，相当于过BC1做了与平面ACD1垂直的平面BC1F。同样，也可以利用面面垂直的性质在垂面上找到垂线段。

引申设问：如果将问题改为求异面直线AC和BC1的距离，你能否根据以上解法给出解答？解法二：将问题转化为面面距离。连接A1B和A1C1，因为正方体A-C1，所以平面ACD1平行于平面A1C1B。所以，BC1到平面ACD1的距离就是平面ACD1到平面A1C1B的距离。连接B1D，设B1D与平面A1C1B交于O1，与平面ACD1交于O2。因为正方体AC1，所以B1D垂直于平面A1C1B，B1D垂直于平面ACD1。线段O1O2的长度即为平面ACD1与平面A1C1B的距离。连接BM，因为B1MD1DB共面，所以B、O1、M共线（公理2）。在直角三角形BB1M中，B1O1等于根号3除以2。同样方法可求得DO2的长度。所以，O1O2等于B1D减去B1O1减去DO2，即根号3除以2。

评注：计算过程中必要的证明必不可少，如B、O1、M共线的证明。当确认要计算的线段后，转化和寻求三角形应同时进行。如O1O2难以直接计算，可转换为O1O2等于B1D减去B1O1减去DO2，B1O1位于直角三角形BB1M中。

解法三：利用等积计算。设点B到平面ACD1的距离为h，则：

因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，所以DD1垂直于平面ABC。三角形AD1C是一个正三角形，边长为1。因此，h等于1除以根号3。又因为三角形ABC的面积乘以DD1等于三角形AD1C的面积，所以h等于1。因此，h等于1/根号3。

评注：解决点面距离的通用方法——等积法。在使用此法时，要注意灵活选择三棱锥，并变换视角，以及规范表述。

扩展资料

空间距离：立体几何中三维空间中点、线、面之间的距离。