数学证明：奇迹并不罕见？

Question

数学证明：奇迹并不罕见？

Answer 1

我称之为“不可能性原理”（Improbability Principle）的数学定律会告诉你，不必为各种巧合事件感到惊讶。事实上，我们应该期待巧合的发生。这个原理的一个重要组成部分是“巨数法则”（law of truly large numbers），即在每一次尝试中，不管一个特定事件多么不可能发生，只要尝试的次数足够多，我们终将看到这一事件的发生。尽管如此，当我们在某些情况下确实拥有很多尝试机会时，还是会觉得特定事件发生的概率非常小。这种误解导致我们严重低估了这类事件发生的概率：我们认为某件事几乎不可能发生时，实际上它不仅非常可能发生，甚至可以说几乎肯定会发生。

为什么在大量尝试中罕见事件发生的概率非常大，而人们却往往意识不到这一点？与不可能性原理有关的另一个数学定律——组合定律（law of combinations）揭示了其中的奥秘。根据组合定律，多个因素的组合数量会随着因素数量的增加而呈指数式增长。“生日问题”就是一个著名的例子。

生日问题指的是：在一个房间里，至少有多少人，才能使得其中两个人的生日是同一天的可能性超过50%？

答案是只需要23人。如果一个房间里的人数不小于23，那么其中两个人的生日是同一天的可能性就超过50%。

如果你之前从未听说过生日问题，上述答案可能会让你大吃一惊。只需要23个人，这个数字听起来也太小了吧？也许你的理由是这样的：任何一个人的生日和你是同一天的可能性，只有1/365。也就是说，任何一个人的生日和你不是同一天的可能性就是364/365。如果房间里有n个人，那么除你以外的n – 1人，每个人的生日和你不是同一天的可能性都是364/365，也就是说，所有n – 1个人的生日和你不是同一天的可能性是364/365 ×364/365 ×364/365 ×364/365 ×……364/365 ，即364/365 的n – 1次方。当n是23时，这个结果是0.94。

由于这个结果指的是其他任何人的生日都和你不是同一天的概率，那么这些人中至少有一个人的生日和你是同一天的概率就是1 – 0.94（很显然，要么有人生日和你是同一天，要么任何人的生日都和你不是同一天，这两种可能情况的概率相加是1）。好吧，1 – 0.94等于0.06。这个概率很小。

然而，上述计算方法是错误的，原因是：生日问题问的并不是有人生日都和你是同一天的概率，而是同一个房间里，任意两个人生日是同一天的概率。这既包括上面所计算的至少有一个人生日和你相同的概率，也包括其他人中有两个人或更多人的生日相同，却和你的生日不同的概率。

这就要请组合定律出马了。尽管只有n – 1个人可能和你是同一天生日，但房间里任意两个人的组合共有n ×（n – 1）/2种。当n变大时，两两组合的数量随之急剧增加。当n为23时，这个值为253，比n – 1 （这时是22）的10倍还大。也就是说，如果房间里有23个人，那么任意两个人形成的组合共有253种，而其中包括你的组合却只有22种。

现在，让我们来看看房间里的23个人生日各不相同的概率到底是多少。对任意两人而言，第二个人和第一个人生日不同的概率是364/365。那么，这两个人生日不同、且第三个人和这两个人的生日都不同的概率就是364/365 × 363/365。同样地，这三个人生日各不相同、且第四个人和这三个人的生日都不同的概率是364/365 × 363/365 × 362/365。以此类推，这23个人生日各不相同的概率是364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 …… × 343/365。

计算结果是0.49。房间里的23个人生日各不相同的概率是0.49，因此其中至少有两个人生日相同的概率是1 – 0.49，也就是0.51，这个概率已经大于50%了。

重复的中奖号码

让我们把目光转向彩票，来看看另一个看似不可能发生，却真实发生过的例子。2009年9月6日，保加利亚彩票随机抽取的中奖号码是4、15、23、24、35、42。这组中奖号码没什么令人惊讶的。虽然中奖号码的组成数字都是像1、2、3、4、5这样的小数字，但这也并不罕见。此外，中奖号码中有一对连号，23和24，不过这种情况出现的频率远比人们通常估计的高得多（如果让人们从1到49的号码中随机挑选6个号码，他们选择连号的概率比真正随机抽取时出现连号的概率更小）。

4天后，令人惊讶的事情发生了：9月10日，保加利亚彩票随机抽取的中奖号码依然是4、15、23、24、35、42，和上周的中奖号码一模一样。当时，这个事件被媒体炒得沸沸扬扬。路透社9月18日的一篇报道中，引述了一位女发言人的话：“在该彩票52年的发行史上，这种情况是第一次出现。当看到这种极为反常的巧合时，我们全都目瞪口呆。不过，这的的确确发生了。”不久后，时任保加利亚体育部长的斯维伦?内科夫（Svilen Neikov）下令对此展开调查。这是不是一个惊天骗局？是不是有人以某种方法复制了上一期的中奖号码？

实际上，这个令人大吃一惊的巧合正是不可能性原理的另一个例子，也是组合定律放大效应下的巨数法则的体现。首先，全世界有许许多多种彩票。其次，它们年复一年、一轮又一轮地开奖。这使得彩票中奖号码重复的可能性大增。再次，组合定律在这里起作用了：每一次彩票开奖的结果，都可能包含之前开出的中奖号码。总的来说，与生日问题的情况类似，如果你的彩票开奖n次，那么其中有两次中奖号码重合的组合共有n ×（n – 1）/2种。

2009年出现中奖号码重复的保加利亚彩票是一种49选6的彩票，所以任何一组6个号码出现的概率是1/13 983 816。这就意味着，任何两组抽奖号码完全雷同的概率是1/13 983 816。不过，3次抽奖中有两次号码雷同的概率有多大？或者说50次抽奖中有两次号码雷同的概率有多大？

当只有3次抽奖时，共有3种可能的组合；但当有50次抽奖时，就会有1 225种可能的组合。组合定律又发挥作用了。如果我们更进一步，在有1 000次抽奖时，会有499 500种可能的组合。换句话说，当抽奖次数提高到原来的20倍，也就是从50次增加到1 000次时，可能的组合数增加得更快，从1 225种增加到499 500种，几乎相当于原来的408倍。显然，我们正在进入“巨数”的领域。

那么，需要抽多少次奖，才能使得重复抽出同一组6个中奖号码的概率超过50%？这样的话，保加利亚彩票事件就很可能是正常发生的了吧？利用处理生日问题时所用的方法，我们得出的答案是，只需要4 404次。

如果每周抽两次奖，一年就有104次，也就是说，不到43年，就可以达到上述计算结果得出的所需抽奖次数。这就意味着，在43年内，彩票机重复抽出一模一样的6个中奖号码的概率超过50%。这样的事件，显然不是一个“极为反常的巧合”。

这还只是考虑了一种彩票。当我们考虑全世界发行的各种彩票时，我们就能明白，如果抽奖号码没有偶尔重复一下，才真的让人感到惊讶。所以，当得知2010年10月16日开奖的以色列米福尔?哈佩斯国营彩票（Israel’s Mifal HaPayis state lottery）中奖号码是13、14、26、32、33、36——与几周前的9月21日开出的中奖号码一模一样时，相信你已经不会吃惊了。你也许已经不会对这样的事件感到惊讶，但别人未必这么想。以色列的谈话类广播节目中充斥着人们的抱怨之声，他们大都认为这次彩票抽奖有猫腻。

保加利亚彩票事件有所不同，是在相邻的两次开奖中出现了雷同的号码。但是，考虑到巨数法则，以及全世界有那么多彩票在定期开奖的事实，我们大可不必大惊小怪。同样地，我们也不必为之前曾经发生过的类似事件感到吃惊。比如，2007年7月9日和11日，美国北卡罗来纳州“现金5”彩票（North Carolina Cash 5 lottery）也开出了同样的中奖号码。

此外，组合定律还会带来非常令人沮丧的彩票结果，1980年发生在莫琳?威尔科克斯（Maureen Wilcox）身上的事情就是一个例子。威尔科克斯购买了许多彩票，其中就有马萨诸塞州彩票（Massachusetts State Lottery）和罗德岛彩票（Rhode Island Lottery）的中奖号码。然而，对她而言十分不幸的是，她购买的马萨诸塞州彩票上印着罗德岛彩票的中奖号码，而她购买的罗德岛彩票上印着马萨诸塞州彩票的中奖号码。设想一下，如果有10种彩票，每一种你都买了一张，那你就有10次中奖机会。而10张彩票两两组合共有45种，因此，从你购买的10张彩票中任意拿出两张，恰好中了10种彩票中某两种的机会，比你真正中奖的机会大4倍多。显然，这并不是获得巨额财富的办法，因为如果你购买的彩票上印着另一种彩票的中奖号码，显然你是不会中奖的，只会让你怀疑上帝是否在和你开玩笑。

组合定律适用于许多人或物体相互影响的情况。例如，设想一个班里有30名学生，他们可以通过不同的方式相互影响。他们可以各自独立，这就是30个个体；也可以两两组合，这就有435种不同的组合；还可以三人一组，这就有4 060种不同的组合；可以一直以此类推下去，直到他们成为一个整体——30个学生组成一组。

所有这些可能出现的不同组合方式，共有1 073 741 823种。这可是超过10亿啊，要知道，这还是只有30个学生的情况。通常，如果一个集合含有n个元素，那么它的非空子集就有2n – 1个。当n = 100时，结果就是2100 – 1，约等于1030 ，这对任何人而言都是一个“巨数”。

不过，如果你认为1030 还不够大，你可以把目光投向万维网（World Wide Web）。万维网拥有约25亿用户，任意用户间都能产生关联，这样就有3 × 1018种两个用户形成的组合，而任意数量相互影响的用户形成的组合种类则高达10750 000 000。如果某个事件有如此多的发生机会，就算它单次发生的概率再小，也几乎可以肯定：它在如此多的机会下一定会发生。

下次，当你遇到一个看似奇怪的巧合时，记得回想一下不可能性原理吧。

（撰文：戴维?J?汉德/David J. Hand；翻译：杨扬）