欧几里得的勾股定理证明方法

Question

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Answer 1

欧几里得的勾股定理证明方法：

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB、AC、BC为边向外有三个正方形：正方形ABDE，正方ACGF，正方形BCHJ，连接DC、AJ，过A点作AN⊥JH，垂足为N，交BC于M。

先通过SAS，可得△ABJ≌△DBC。

因此它们的面积相等。

而正方形ABDE的面积＝2△DBC的面积。

长方形BMNJ的面积＝2△ABJ的面积。

因此正方形ABDE的面积＝长方形BMNJ的面积。

同理可得正方形ACGF的面积＝长方形CMNH的面积。

从而：BC2=AB2+AC2。

勾股定理的意义

1、勾股定理的证明是论证几何的发端。

2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理。

3、勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解。

4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理。

Answer 2

欧几里得的勾股定理证明方法：

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB、AC、BC为边向外有三个正方形：正方形ABDE，正方ACGF，正方形BCHJ，连接DC、AJ，过A点作AN⊥JH，垂足为N，交BC于M。

先通过SAS，可得△ABJ≌△DBC，

因此它们的面积相等

而正方形ABDE的面积=2△DBC的面积；

长方形BMNJ的面积=2△ABJ的面积；

因此  正方形ABDE的面积=长方形BMNJ的面积；

同理可得  正方形ACGF的面积 = 长方形CMNH的面积；

从而：  BC2=AB2+AC2 。

扩展资料：

意义

1、勾股定理的证明是论证几何的发端。

2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理。

3、勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解。

4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理。

5、勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值。这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。

1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。

Answer 3

因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考（若图像显示过小，点击图片可放大） 

Answer 4

在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下： 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC。 把这两个结果相加， AB+ AC = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB + AC = C。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

Answer 5

欧几里德对直角三角形三边关系上有着独特的方法进行了论证，这个定理就是中国常说的勾股定理。证明过程如下：

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB、AC、BC为边向外有三个正方形：正方形ABDE，正方形ACGF，正方形BCHJ.
连接DC、AJ。
过A点作AN⊥JH，垂足为N，交BC于M。

先通过SAS，可得△ABJ≌△DBC，
因此它们的面积相等。
而正方形ABDE的面积=2△DBC的面积；
长方形BMNJ的面积=2△ABJ的面积；
因此 正方形ABDE的面积=长方形BMNJ的面积；
同理可得 正方形ACGF的面积 = 长方形CMNH的面积；
从而： BC2=AB2+AC2 。