射影定理的公式是什么？

Answer 1

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有

a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA    

这三个式子叫做射影定理。

验证推导过程：

①CD²=AD·BD;

②AC²=AD·AB;

③BC²=BD·AB;

④AC·BC=AB·CD

证明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD

∴CD²=AD·BD

②∵CD²=AD·BD(已证)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD

④∵S△ACB=  

AC×BC=  

AB·CD

∴  AC·BC=  AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

扩展资料：

射影定理证明思路：

因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。

参考资料：百度百科-射影定理

Answer 2

　　射影定理，又称“欧几里得定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。

　　概述图中，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

　　BD²=AD·CD

　　AB²=AC·AD

　　BC²=CD·AC

　　由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。

　　

Answer 3

斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式表达为：如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD²;=AD·DB，②BC²=BD·BA ， ③AC²=AD·AB ； ④AC·BC=AB·CD（等积式，可用面积来证明）

追问

谢了！

Answer 4

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD²;=AD·DB，②BC²=BD·BA ， ③AC²=AD·AB ； ④AC·BC=AB·CD

Answer 5

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC， c=acosB+bcosA，这三个式子叫做射影定理。

拓展资料：

射影定理的提出者

欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，公元前32直角三角形中的射影定理5年—公元前265年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）时期的亚历山大里亚。

他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。