如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF

Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1； （2）求证：BE⊥面AB1C1；（3）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1，证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）因为E，F分别为线段AC₁，A₁C₁的中点，
所以EF∥A₁A．
因为B₁B∥A₁A，
所以EF∥B₁B．
又因为EF?平面BCC₁B₁，B1B?BCC₁B₁，
所以EF∥面BCC₁B₁．
（2）因为BC⊥BC₁，AB⊥BC，AB∩C₁B=B，
所以BC⊥平面ABC₁．
因为BE?平面ABC₁，所以BE⊥BC．
又因为BC∥B₁C₁，所以BE⊥B₁C₁．
因为AB=BC₁，E为AC₁的中点，
所以BE⊥AC₁．
因为AC₁∩B₁C₁=C₁，
所以BE⊥面AB₁C₁．
（3）取BC₁中点为G，连接GE、GF，
又因为E为AC₁的中点，
所以GE∥AB．
因为EG?平面A₁B₁BA，AB?平面A₁B₁BA，
所以EG∥平面A₁B₁BA．
同理可证：EF∥平面A₁B₁BA．
又因为EF∩EG=E，
所以平面EFG∥平面ABB₁A₁．
所以在线段BC₁上是存在一点G，使平面EFG∥平面ABB₁A₁．