高中数学定积分，不用几何法做，最好用三角换元！

Answer 1

追问

看不到

百度知道有bug的，点开来只显示了最右下角的一点

追答

如图

追问

还是不行

要拍下来才行的

追答

∫(1,0)√[1-(x-1)²]-xdx
=∫(1,0)√[1-(x-1)²]dx-∫(1,0)xdx
=∫(1,0)√[1-(x-1)²]dx-x²/2|(1,0)
=∫(1,0)√[1-(x-1)²]d(x-1)-1/2
令x-1=sint
x=1 t=0
x=0 t=-π/2
=∫(0,-π/2)√[1-sin²t]dsint-1/2

=∫(0,-π/2)cos²tdt-1/2
=∫(0,-π/2)(cos2t+1)/2dt-1/2
=1/4∫(0,-π/2)(cos2t+1)d2t-1/2
=1/4[sin2t+2t]|(0,-π/2)-1/2
=π/4-1/2

追问

x不是(0，2)么？

追答

积分区间为上限1 下限0

追问

(⊙o⊙)…

√(1-sin^2t)不是=cost么？怎么变成了cos^2了？

追答

dsint=costdt
costdsint=cos^2tdt

追问

看不懂

求详细解释

d后面应该是sint+1吧？

算微积分要先微分再积分？

追答

=[∫(0,-π/2)√(1-sin²t)dsint]-1/2
=[∫(0,-π/2)costdsint]-1/2
=[∫(0,-π/2)cost*costdt]-1/2
=[∫(0,-π/2)cos²tdt]-1/2
=∫(0,-π/2)(cos2t+1)/2dt-1/2
=1/4∫(0,-π/2)(cos2t+1)d2t-1/2
=1/4[sin2t+2t]|(0,-π/2)-1/2
=π/4-1/2

追问

导倒数的2个等号看不懂！

求教

Answer 2

√[1-(x-1)^2]=cost,x=sint+1,0<=x<=1，0>=t>=-π/2
dx=costdt;
原式=∫(cost-sint-1)costdt=∫(cos^2t-sintcost-cost)dt=∫{[cos(2t)+1]/2-sin(2t)/2-cost}dt
=∫d[sin(2t)/4+cos(2t)/4-sint+t/2]
=（积分限[-π/2,0]，过程略）
=π/4-1/2

追问

x的范围不是大于0小于2么？(含等号)

Answer 3

追问

θ的范围为什么取不到整个圆呢？

追答

怎么可能取到整个圆，画个图就知道这是四分之一个圆

追问

怎么看出来的？

哪里有限制条件呢？

追答

x-1是从-1到0，所以θ从-π╱2到0。是这样来的

追问

积分上下限怎么确定的？

第三个等号那里为什么是cos²θ