初二数学难题

Question

已知:梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90度，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A出发，沿AD边向点D以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度移动，若有一点运动端点时，另一点也随之停止。如果P.Q同时出发，能否有四边形PQCD成等腰梯形？如果存在，求经过几秒后；如果不存在，请说明理由

Answer 1

这道题是经典的初二数学题，是一大难点，解法有二种。

解法一：

设t秒后PQCD成为等腰梯形。

∵P的速度为1cm/s，Q的速度为2cm/s

∴AP=t，CQ=2t

∵AD=18=AP+PD

∴PD=18-t

作DM⊥BC交BC于M，PN⊥BC交BC于N

∴∠PNM=∠DMN=90°

∵ABCD为梯形

∴AD‖BC

∴∠NPD=∠MDP=∠PNM=∠DMN=90°

∴四边形PDMN为矩形

∴NM=PD=18-t

依题意，连接PQ，易知△PQN≌△DCM

∴CM=QN

∵AD=18，BC=21

∴CM=32-18=3

∴CM=QN=3

∴18-t+3+3=2t

∴t=8

∴8秒后存在等腰梯形PQCD

解法二：

（跟解法一差不多，不过有的地方不同）

设设t秒后PQCD成为等腰梯形。

作DM⊥BC交BC于M，PN⊥BC交BC于N

∵AD‖BC，∠B=90°

∴AB‖DM

∴MC=BC-BM=BC-AD=3（cm）

当∠PQN=∠C时，梯形PQCD为等腰梯形，此时△PQN≌DCM

∴QN=MC

又∵QN=BN-BQ=AP-BQ=t-(21-2t)=3t-21

∴3t-21=3

∴t=8

即当t=8s时，梯形PQCD是等腰梯形

利用代数的方法把线段转换，再列出含t的方程，再解出，此题即可迎刃而解。

Answer 2

这我也不会！