全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。
编辑本段定义
给定R2的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J，那么以下形式的一阶常微分方程：
称为全微分方程，如果存在一个连续可微的函数F，称为势函数，使得：
“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数F(x0,x1,...,xn − 1,xn)，全导数为：
编辑本段势函数
在物理学的应用中，I和J通常不仅是连续的，也是连续可微的。施瓦茨定理（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是充分的，我们便得出以下的定理：
给定以下形式的微分方程：
其中I和J在R2的单连通开子集D上是连续可微的，那么势函数F存在，当且仅当下式成立：
编辑本段解
给定一个定义在R2的单连通开子集D上的全微分方程，其势函数为F，那么D内的可微函数f是微分方程的解，当且仅当存在实数c，使得：
对于初值问题：
我们可以用以下公式来寻找一个势函数：
解方程：
其中c是实数，我们便可以构造出所有的解。
参考资料：Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.
Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.
Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.
全微分方程是什么意思?
全微分方程是指常微分方程，是一门数学课程名，是相对于偏微分方程（数学物理方程）而言，专门研究只含一元函数的导数（微分）的方程。全微分是多元函数的先行主部，数值为各偏导数与各自增量乘积增量之和。它与微分方程区别是常微分方程主要是解得的未知函数是一元函数的微分方程，而偏微分方程主要内容为...
全微分方程是什么?
全微分方程，如dy\/dx = f(x,y)，是数学中一种基础的微分形式，其中f(x,y)是x和y的函数。这类方程的核心特性在于可以通过直接积分找到解析解，无需依赖数值方法，这在求解过程中极具实用价值。它们在现实世界中有广泛的应用，涉及多个领域。例如：线性微分方程$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$，...
全微分方程是什么意思?
全微分方程是一种特殊的微分方程，其特点在于其形式能够直接通过积分得到通解。全微分方程，又称为恰当方程，是形如M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的一阶微分方程。其中，M和N是关于x和y的已知函数。如果存在一个函数u(x,y)，使得M(x,y)是u(x,y)关于x的偏导数，N(x,y)是u(x,y)关于y...
全微分方程的通解
全微分方程是指可以被写成形如$M(x,y)dx + N(x,y)dy=0$的方程，其中$M$和$N$是$x$和$y$的一次多项式。若该方程之中存在一个恰当的函数$\\varphi(x,y)$，使得方程可以被写成$d\\varphi(x,y) = 0$的形式，那么该方程就是全微分方程，同时方程的解可以直接通过对恰当函数$\\varphi(x,y...
怎么判断一个方程是否为微分方程
综上所述，全微分方程是微分方程的一种特殊形式，判断一个方程是否为全微分方程需要满足一定的条件。通过计算偏导数和积分，可以找到方程的通解，从而解决相关问题。值得注意的是，掌握全微分方程的判断方法，不仅有助于解决数学问题，还能在物理、工程等领域中找到广泛的应用。
全微分方程是什么,怎么求解?
Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即 dz=A...
常微分方程,偏微分方程,全微分方程各是什么,有什么区别?
偏微分方程：偏微分方程是求解未知函数为多元函数的微分方程。在这种方程中，未知函数及其偏导数的关系在整个定义域内的某些方向上是已知的，而在其他方向上可能未知。全微分方程：当一个一阶微分方程写成 P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 的形式，并且其左端恰好是某个函数 u=u(x,y) 的全微分形式...
恰当方程 全微分方程
全微分方程，又称恰当方程。若存在一个二元函数u(x,y)使得方程M(x,y)dx N(x,y)dy=0的左端为全微分，即M(x,y)dx N(x,y)dy=du(x,y)，则称其为全微分方程。全微分方程的充分必要条件为∂M\/∂y=∂N\/∂x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和...
怎么判断一个方程是否是全微分方程?
在数学中，一个方程P(x,y)dx + Q(x,y)dy = du(x,y)被称为全微分方程，如果存在一个函数u(x,y)，使得该方程的两边可以表示为u的全微分。具体来说，如果P和Q在某个区域G内具有连续的一阶偏导数，并满足条件P'(y) = Q'(x)恒成立，那么这个方程就可以写成全微分形式。若满足这个条件...
全微分方程的充要条件
全微分方程的充要条件：若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y)，则称Pdx+Qdy=0为全微分方程。全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。微分方程是一种数学方程，用来描述某一类函数与其导数之间的关系。微分方程的解是一个符合方程的函数。
