设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数,对定义域内的任意x,y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，且x＞1时,f(x)＞0

Question

设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数,对定义域内的任意x,y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，且x＞1时,f(x)＞0
（1）写出一个符合要求的函数,并猜想f(x)在(0,∞)上的单调性
（2）若f(2)=1,解不等式f(x)+f(x-3)≤2

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Answer 1

1.y = log(2) x
定义域x>0，符合。 f(xy) = log(2)xy = log2x + log2 y = f(x) + f(y).
x>1时， log(2) x > 0
单调递增。（可以设y>1,则xy>x，则f(xy) - f(x) = f(y) > 0 ,递增)
2.定义域 x>0,x-3>0,所以 x>3
f(x)+f(x-3)≤2
f(x)+f(x-3)≤f(2)+f(2)
f[x(x-3)] <= f(4)
所以 x(x-3) <= 4
所以 -1<= x <=4
综上 3<x<=4

Answer 2

(1）f(xy)=f(x)+f(y)，设想f(x)=log以a为底x对数,因为x＞1时,f(x)＞0
所以a>1，所以符合的函数可以是f(x)=log以2为底x对数,在(0,+∞)为单调增函数
(2)因为若f(2)=1，所以f(4)=f(2)+f(2)=2
f(x)+f(x-3)≤2=f(4) （x-3>0）
所以f(x)+f(x-3)=f(x(x-3))≤f(4)
又因为为增函数，所以x(x-3)≤4
解得x属于[-1,4], 又因为x与x-3属于(0，+∞）所以x>3
所以x属于(3,4]