（线性代数）实对称矩阵特征值不同的特征向量相互正交

Question

请问怎么由X1-X2+X3=0
得出两个特征向量（1,0，-1）和（0,1,0）的呢？
向量（1,1，0）和（0,1,1）也满足方程，是不是也是特征向量呢？

Answer 1

这个解答中有些小错误。
要求的特征向量一定与(1,-1,1)T正交，所以是X1-X2+X3=0的解。
这个方程的基础解系一般可以用X2,X3分别取1,0或0,1代入解出X1得到，也就是(1,1,0)和(-1,01)。
它们若乘非零的倍数也可以做为基础解系。
题目中(0,1,0)T应当改为(1,1,0)T,否则不满足方程。
满足方程的所有非零解向量都是特征向量，而且只要是两个线性无关的解向量就可以做为基础解系。
所以（1,1，0）T和（0,1,1）T也满足方程，也是特征向量。而且有a2=k1(1,1,0)T+k2(0,1,1)T 。

希望帮到你。请采纳。

追问

“这个方程的基础解系一般可以用X2,X3分别取1,0或0,1代入解出X1得到”
为什么是X2,X3作为自由变量呢？这是我最困惑的地方

追答

不一定非要用X2,X3作为自由变量，用X1，X2也可以，用X1,X3也可以。
用X2,X3只是一种约定的习惯。
自由变量的个数是：总数-系数矩阵的秩

追问

我同学一直非要说只能让X2,X3作为自由变量~
可是自由变量不同的话，对于基础解系（1，1，0），（-1,0,1）以X2,X3作为自由变量和（0,1，1），（-1,0,1）以X1,X2为自由变量计算出来的矩阵B是不同的吧？也就是说本题的答案 不唯一吗？

追答

选用不同自由变量来计算，最后算出的矩阵B相同的。
尽管用几个特征向量拼成的矩阵P发生了变化，但求B时还要用到P逆矩阵，它也跟着变了。最终的B是不变的。

Answer 2

x1-x2+x3=0
表明（1，-1，1）X=0
A=（1， -1，1）已经是行最简型了，独立变量为x2，x3，可以任意付给两个线性无关的向量
你给的下面的两个也是特征向量，满足上述的条件

追问

怎么确定的独立变量是X2,X3呢？
我知道习惯上解题时每次给独立变量中的一个赋值为1，其他为0所以才有答案这样的结果

追答

最简型中非零行中除去第一个不为零的元素所在的列，剩余列的就是，
对的，一般都取相应维数的单位矩阵 的各列作为独立变量的线性无关的向量，当然也可以任意给，只要保证为线性无关就行

Answer 3

实际是随便给两个x1,x2的值，然后计算x3得到的