已知定义域为R的函数f(x)=(-2的x次方+a/2的x次方+1)是奇函数

Question

已知定义域为R的函数f(x)=(-2的x次方+a/2的x次方+1)是奇函数 (1)求a的值 (2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性 (3)若对任意的t∈R，不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0恒成立，求实数k的取值范围。

Answer 1

∵f(x)
=
{
-2^x
+
b
}
/
{
2^(x+1)
+
a
}
是奇函数∴f(0)
=
0，且f(-x)=-f(x)
根据f(0)=
0，{-2^0
+
b
}
/
{
2^(0+1)
+
a}，{-1+b}
/
{2+a}，∴b=1，且a≠-2
根据f(-x)=-f(x)
{
-2^(-x)+1}
/
{
2^(-x+1)+a
}
=
-
{
-2^x+1}
/
{2^(x+1)+a
}
左边分子分母同乘以2^x:
{
-1+2^x
}
/
{
2+a
*
2^x
}
=
{
2^x-1}
/
{
2^(x+1)+a}
{
-1+
2^x}
*
{2^(x+1)+a}
=
{2+a
*
2^x}
*
{2^x-1}
-2^(x+1)
-
a
+
2^x
*
2^(x+1)
+
a
*
2^x
=
2
*
2^x
-
2
+
a
*
2^x
*
2^x
-
a
*
2^x
-2
*
2^x
-
a
+
2
*
2^(2x)
+
a
*
2^x
=
2
*
2^x
-
2
+
a
*
2^(2x)
-
a
*
2^x
(2-a)
*
2^(2x)
-
(2-a)
*
2^x
+
(2-a)
=
0
(2-a)
*
{
2^(2x)
-
2^x
+
1
}
=
0
(2-a)
*
{
(2^x
-
1/2)^2
+3/4
}
=
0
∵(2^x
-
1/2)^2
+3/4
＞
0
∴2-a=0
∴a=2
∴f(x)
=
{
-2^x
+
1
}
/
{
2^(x+1)
+
2
}
=
-(2^x
-
1)
/
(2
*
2^x
+
2)
=
-1/2
(2^x
-
1)
/
(2^x
+
1)
=
-1/2
(2^x
+
1
-
2)
/
(2^x
+
1)
=
-1/2
+
1
/
(2^x
+
1)
∵2^x在定义域上单调增;∴2^x
+
1单调增;∴1
/
(2^x
+
1)单调减;∴
-1/2
+
1
/
(2^x
+
1)单调减
∴f(x)在定义域上单调减。
f(t^2-2t)
+
f(2t^2-k)
<
0
-1/2
+
1
/
{2^(t^2-2t)
+
1}
-1/2
+
1
/
{2^(t^2-k)
+
1}
＜
0
-1
+
1
/
{2^(t^2-2t)
+
1}
+
1
/
{2^(t^2-k)
+
1}
＜
0
∵2^(t^2-2t)
+
1＞1，
2^(t^2-k)
+
1
＞1
∴两边同乘以
{2^(t^2-2t)
+
1}
{2^(t^2-k)
+
1}不等式不变号
∴-
{2^(t^2-2t)
+
1}
{2^(t^2-k)
+
1}
+
{2^(t^2-k)
+
1}
+
{2^(t^2-2t)
+1}
＜
0
-
2^(t^2-2t)
*
2^(t^2-k)
-
2^(t^2-2t)
-
1
-
2^(t^2-k)+
2^(t^2-k)
+
1
+
2^(t^2-2t)
+1
＜
0
-
2^(t^2-2t)
*
2^(t^2-k)
+1
＜
0
2^(t^2-2t+t^2-k)
＞1
2(2t^2-2t-k)
＞
1
2t^2
-
2t
-
k
＞
0
f(t)
=
2t^2
-
2t
-
k
开口向上，必须判别式＜0时才能与x轴无交点，f(t)=2t^2
-
2t
-
k
恒大于0
∴△
=
(-2)^2-4*2*(-k)
＜
0
4+8k＜0
k＜-1/2