理解数学分析基础（一）

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初学者在面对数学分析时常常感到困惑，因为数学家们在解决问题后会隐藏其思考过程，使后人难以理解其背后的逻辑。本文将尝试揭示隐藏在数学分析背后的“自然”想法，帮助读者更好地学习这些内容。

让我们回到古希腊时期，毕达哥拉斯和他的门徒们发现了无理数的存在，这与他们认为“万物皆数”的信念相冲突，因此毕达哥拉斯下令淹死了发现无理数的门徒。无理数的存在对于毕达哥拉斯而言是不可接受的，因为它挑战了他们对数的理解。

让我们探讨一下毕达哥拉斯为什么如此害怕无理数。通过定义一个特定形式的数，我们可以证明无理数在集合中既不存在最大的数也不存在最小的数。例如，令数为无理数形式，我们能够证明集合中不存在最大的数和最小的数。你可以尝试证明这一点，加深对无理数的理解。

在构建实数集R时，我们常常将R与一条直线进行类比。然而，如果我们只考虑有理数Q，那么实数集R上存在“洞”，即存在无穷多个未被有理数填补的位置。我们的目标是将这些“洞”填补，即完成Q的补全。

为了填补这些“洞”，我们将使用上下确界和确界性原理。上下确界定义了一个集合G的上界或下界，使得集合中任何小于或大于该数的元素都不是该集合的上界或下界。确界性原理则指出，对于任何具有上界的非空子集E，其上确界存在且唯一。

以经典例子为例，求解的上下确界。我们知道是单调递减的，所以最大值为1，而显然1是的上界。接下来，我们验证上确界的另一个部分，即对于所有，我们找到一个值a=1，使得。对于下确界，显然，从极限的角度看，它趋近于0。然而，要找到一个作为下界，我们面临一个挑战：对于，如何控制一个值总是小于它？

为了解决这个问题，引入取整符号。令，它总是大于，并且是一个正整数。将n代入，我们得到了我们要找的上下确界。

最终，通过确界性原理，我们解决了毕达哥拉斯的困惑，填补了Q中的“洞”。我们定义实数域R，使其具有最小上界性，从而保证了每个子集都有上确界和下确界。这也意味着实数集R是完备的，能够容纳所有无理数。通过最小上界性，我们不仅填补了Q中的“洞”，还确保了实数集R的完整性。

为了进一步理解实数域R的构建，我们需要定义域的概念。域是一个具有加法和乘法运算的集合，满足一系列公理，如加法封闭性、乘法封闭性、交换律、结合律等。域的概念不仅适用于常见的数域，如实数域R、有理数域Q等，还适用于更广泛的集合，如矩阵集合。

我们通过阿基米德性定理理解实数域R与有理数域Q之间的关系。阿基米德性定理指出，对于任何两个实数，我们总能找到足够多的有理数介于它们之间。这证明了实数集R在与有理数集Q的关系中是稠密的，即实数集R能够填补有理数集Q中的“洞”。通过实数域R的定义和理解，我们能够更好地构建和操作实数集，解决更复杂的数学问题。