高二数学求详细过程 导数部分 谢谢

Answer 1

f（x）=e^x+2ax
f(x)=0
e^x=-2ax
看成两个函数的交点：
y=e^x,y=-2ax=kx,k=-2a
y=kx是过原点的直线，
y=e^x,是单调递增的指数函数。
根据图像，k<0，y=kx单调递减。单调递减与单调递增的函数，只能有一个交点。有两个交点，必k>0
从k=0(x轴），开始，y=kx绕O逆时针旋转，开始与y=e^x无交点，到某一值，两者相切，以后再转，就有两个交点了。
相切：
（e^x)'=e^x=k,x=lnk
e^x=kx
k=kx
x=1
k=e
k>e,两者有两个交点，
-2a>e,a<-e/2

追答

设x1，x2是两个根，
e^x1=kx1，x1=e^x1/k
e^x2=kx2,x2=e^X2/k
代入不等式左边
=x2-lnk-(x1-lnk)
=x2-x1
代入：
x2-x1>2(x2-x1)/(x1十x2)
1>2/(x1十x2)
x1十x2>2

两式相乘
e^(x1十x2)=k²(x1.x2)
02√(x1x2)
(x1十x2)²/4>x1x2
代入：
e^(x1十x2)<k²(x1十x2)²/4
设x1十x2=t
e^t<(kt/2)²
分析函数
u=e^t-k²t²/4
u'=e^t-k²t/2
u'=0,

直接证比较麻烦。换一种思路：x1十x2>2
(x1十x2)/2>1
前面是x1与x2的中点。只要证明到这个中点>1即可。
x=1，是切点，相交时，两个交点必然在1的左右两边，0<x1<1，1<x2
设1-x1=t，x1=1-t，x1关于1的对称点1十t，1-t，1十t的中点正好是1，只要证明x2在1十t的右边即可。如下图所示，x=1-t，1十t，x2对应y=e^x图像上的A，B,C点。y=e^x单增，只要证明到AB的斜率小于直线OAC的斜率即可。