高一数学。关于函数的研究报告。急！！

Question

函数y=ax+b/x (a≠0且b≠0) y=(ax+b)/(cx+d) (ad-bc≠0)

分别探究两函数的【定义域，值域，图像，奇偶性，单调性，单调区间，最值】

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Answer 1

高 二 班第1组研究性学习结题报告

关于y=ax+x/b性质的论文

组长：夏正春
组员：薛楠 徐庶杰 廖可飞 张友骞
阮念寿 杨隆坤 陈秀鹏

指导老师：豆春红
日期：二0一0十二月二十号

关于y=ax+x/b性质的研究性学习论文

摘要：探讨函数y=ax+b/x（主要是在a·b＞0的情况下）的函数一般性质和特性，调查出函数的简单应用。通过小组合作、网络调查、文献研究等多种手段。得出结论，对号函数是特殊的双曲线，也具有焦点、渐近线、离心率等。

关键字：特殊双曲线、函数性质 应用
一，课题背景
关于函数y=ax+b/x的性质及在数学中和现实生活中的应用等问题的探讨。
二，课题目的
此次研究性学习主要是要通过小组合作的方式，自主探究出函数y=ax+b/x（主要是在a·b＞0的情况下）的函数一般性质和特性，调查出函数的简单应用。重点研究在关于函数y=ax+b/x性质的探究，然后利用互联网等多媒体手段，了解y=ax+b/x函数在日常生活中解决的问题。
这次团队合作方式的研究性学习，旨在增强各成员间的合作能力和表达沟通能力；同时，也将培养我们对于数学问题的理解、解决能力，提升我们的逻辑抽象思维能力。
三，课题研究方法
此次研究性学习主要是通过小组合作的方式，自主探究出函数y=ax+b/x（主要是在a·b＞0的情况下）的函数一般性质和特性，调查出函数的简单应用。重点研究在关于函数y=ax+b/x性质的探究，然后利用互联网等多媒体手段，了解y=ax+b/x函数在日常生活中解决的问题。
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四，课题研究过程
参照平时老师教学过程中关于函数的探究思路，我们决定先对a,b进行讨论。

当a=0,b=0时

函数y=ax+b/x即为X轴

当a=0,b≠0时

函数y=ax+b/x为双曲线

当a≠0，b=0时

函数y=ax+b/x即为直线

当a≠0，b≠0时

函数y=ax+b/x是以y=ax和y轴为渐近线的双曲线

用几何做图方法画出函数y=x+1/x和y=x+3/x的图像。从函数图像上，观察得到函数的单调性、对称性，以及函数大致的值域和定义域。为了获取函数精确的值域和定义域，我们使用了基本不等式的相关知识。
以y=x+1/x为例，其单调性为：[-1,0）和（0,1]区间上，函数是递减的；在（-∞，-1）和（1，+∞）区间上，函数是递减的
对称性：该函数图像是以原点为对称中性的中心对称图形。
值域：（-∞，-2]∪[2，+∞]
定义域：（-∞，0）∪（0,+∞）。
在掌握函数在特殊取值情况下的一般性质之后，我们从互联网上搜索到关于函数y=ax+b/x的相关内容。我们了解到y=ax+b/x这样的函数叫对号函数，别名耐克函数。

五，课题研究结果
y=ax+b/x性质的总结。（主要为a＞0，b＞0时的性质）

大致图像

定义域

（-∞，0）∪（0，+∞）

值域

（-∞，-2「ab]∪[2「ab，+∞）

对称性

关于原点O对称

单调性：

①（0，「b/a」∪（-「b/a，0），函数是递减的
②（-∞，-「b/a）∪（+「b/a，+∞），函数递增的

最值

① x＜0，当x=-「b/a时，ymax=-2「ab
② x＞0，当x=「b/a,ymin=2「ab

特殊性质：

函数图像无限接近于直线x=0和y=ax

从特殊性推广到一般性。我们参照从网上得到的信息总结了以下表格中的部分性质。
特殊性质：
①对号函数是双曲线旋转得到的。同双线一样也有渐近线，顶点等。
（以y=x+1/x为例：其方程为rsinα＝rcosα+1/rcosα,逆时针旋转22.5度后为rsin(α-π/8)＝rcos(α-π/8)+1/rcos(α-π/8),化简即得，其实半轴平方为2^1/2+2,虚半轴平方为2^1/2-2，离心率平方为4-2^1/2）
基于对号函数的以上性质，它常用于研究函数的最值和恒成立问题。例如：对于函数f（x）=12/x+3x的x＜0时最大值，x＞0时最小值可轻易由对号函数的性质可以知道x＜0时，ymax=-6。 x＞0时ymin=6.当然这只是在数学中的简单而又基本的应用，稍复杂的应用会在与求含两个变量的最值如已知正数x,y满足8/x+1/y=1，求x+2y的最小值。
运用对号函数的以上性质，在解决数学问题时会很简单。在解决生产科研和日常生活的问题上，对号函数也可为是功劳不小。例如：①某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元。求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ （1）设该厂应每隔x太难购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x+6(x-1)+…+6*2=6*1]=9x（x+1）。
设平均每天所支付的总费用为y元，则y=1/x[9x(x+1)+900]+6*1800=900/x
+9x+10809利用对号函数的性质可知当x=10时，取得最小值10989.即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能是平均每天所支付的总费用最少。
在解决该试剂问题时，无非是建立对号函数模型，然后再利用函数性质解决。再如：
② 经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系：y=920v/v²+3v=1600（v＞0）
⑴在该时段时，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？
⑵为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
解决问题思路，大同小异。

六，研究体会
通过这次数学研究学习，我们深深体会到数学正是无处不在，不敢想象如果没有数学，我们的世界会是什么样子。团队的合作精神得到提升，历练了我们每个人发现、解决问题的能力；于此同时，也培养了良好的沟通表达能力。
总而言之，此次研究性学习的成功，是团队合作的成果。

七，参考文献
《与名师对话》 主编：韦民 大众文艺出版社
《冲刺金牌 高中数学奥林匹克竞赛教程》主编：严军 马传渔 吉林教育出版社