若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围

Question

已知函数f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)X+b (a,b属于R）若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围

Answer 1

这个问题首先要想如果不单调会怎么样可以从导函数入手，如果不单调则导函数和X轴有交点，因为单调增的时候导函数大于0，单调减就小于0.导函数=3x^2+2(1-a)X-a(a+2)=(X-a)(3X+a+2)所以与X轴的交点是X=a,X=-(a+2)/3,因为函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，那么我们所求的区间要包含这个(-1,1)，所以1：a<=-1,-(a+2)/3>=1,求得【-5，-1】，2：-(a+2)/3<=-1，a>=1,所以a>=1所以a的取值范围是【-5，-1】，和>=1

Answer 2

据题意f(x)【至少】有一个极值点在区间(-1,1)内，
由于f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)],
a≠-1/2时，f(x)有两个不相同的极值点x1=a和x2=-(a+2)/3,
①a=-1/2时，f(x)严格单调增加
②-1<x1<1，即 -1<a<1；
③-1<x2<1，即-1<-(a+2)/3<1，可得-5<a<1，

综合①、②、③，可得a的取值范围是｛-5<a<-1/2｝∪｛-1/2<a<1