高数题，定积分的应用 高数题 第1题的（5）小题 这种题很重要，我不会做，希望可以详细写出步骤

Question

高数题，定积分的应用

高数题

第1题的（5）小题
这种题很重要，我不会做，希望可以详细写出步骤，画出图，详细解释一下做这种方法，

希望可以详细解释一下，
数学达人都去哪了？好几天没人回答，，着急啊
真诚相待，我在线等

Answer 1

Answer 2

图形不容易画，考虑其图形的特点，它与x轴的交点就是满足sinx=0的点，即x=0,π,2π，且x在0到π之间时，图形在x轴上方，x在π到2π之间时，图形在x轴下方。整个图形就是由y=e^(-x)sinx与直线x=0，x=2π以及x轴围成的曲边梯形，所以根据定积分的几何意义就可知面积A=∫(0到2π) |e^(-x)sinx|dx=∫(0到π) e^(-x)sinxdx-∫(π到2π) e^(-x)sinxdx。
用分部积分法可得e^-x)sinx的原函数是-1/2e^(-x)(sinx+cosx)，所以根据牛顿莱布尼兹公式，得A=1/2(1+e^(-π))^2。