证明定理：如果a1…as可以由b1…bs线性表出，则ra1…as<=rb1...rbs 求各位大神

Question

证明定理：如果a1…as可以由b1…bs线性表出，则ra1…as<=rb1...rbs
求各位大神帮忙

Answer 1

证明过程如下：

证明：设α1,α2,...,αs1; β1,β2,...,βt1 分别是两个向量组的极大无关组

则r(α1,α2,...,αs)=s1, r(β1,β2,...,βt)=t1

且由已知 α1,α2,...,αs1 可由 β1,β2,...,βt1 线性表示

∴存在矩阵K满足 (α1,α2,...,αs1)=(β1,β2,...,βt1)K

K为t1行s1列矩阵

假如 t1<s1

则齐次线性方程组 Kx=0 有非零解x0

∴(α1,α2,...,αs1)x0=(β1,β2,...,βt1)Kx0=0

即x0是齐次线性方程组(α1,α2,...,αs1)x=0的非零解

∴α1,α2,...,αs1线性无关, 矛盾.

∴ s1<=t1

即有 r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。

扩展资料

实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。

当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当 |λ| >1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的|λ|倍

当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上缩短为原来的 |λ|倍。

Answer 2

证明过程如下：

证明：设α1,α2,...,αs1; β1,β2,...,βt1 分别是两个向量组的极大无关组

则r(α1,α2,...,αs)=s1, r(β1,β2,...,βt)=t1

且由已知 α1,α2,...,αs1 可由 β1,β2,...,βt1 线性表示

∴存在矩阵K满足 (α1,α2,...,αs1)=(β1,β2,...,βt1)K

K为t1行s1列矩阵

假如 t1<s1

则齐次线性方程组 Kx=0 有非零解x0

∴(α1,α2,...,αs1)x0=(β1,β2,...,βt1)Kx0=0

即x0是齐次线性方程组(α1,α2,...,αs1)x=0的非零解

∴α1,α2,...,αs1线性无关, 矛盾.

∴ s1<=t1

即有 r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)

扩展资料

若未知向量的坐标而要判断能否线性表出的问题，通常是转换为非齐次线性方程组是否有解的讨论，如果向量的坐标没有给出而问能否线性表出，通常用线性相关及秩的理论分析、推理。

等价向量组具有传逆性、对称性、反身性；向量组和它的极大线性无关组是等价向量组；向量组的任意两个极大线性无关组是等价向量组；等价的向量组有相同的秩。但秩相等的向量组不一定等价。

证明线性表出方法：

Answer 3

证明：设α1,α2,...,αs1; β1,β2,...,βt1 分别是两个向量组的极大无关组

则r(α1,α2,...,αs)=s1, r(β1,β2,...,βt)=t1

且由已知 α1,α2,...,αs1 可由 β1,β2,...,βt1 线性表示

∴存在矩阵K满足 (α1,α2,...,αs1)=(β1,β2,...,βt1)K

K为t1行s1列矩阵

假如 t1<s1

则齐次线性方程组 Kx=0 有非零解x0

∴(α1,α2,...,αs1)x0=(β1,β2,...,βt1)Kx0=0

即x0是齐次线性方程组(α1,α2,...,αs1)x=0的非零解

∴α1,α2,...,αs1线性无关, 矛盾.

∴ s1<=t1

即有 r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)

Answer 4