已知数列 满足 （Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）若数列 满足 ，证明： 是等差数列；（Ⅲ）证明

Question

已知数列 满足 （Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）若数列 满足 ，证明： 是等差数列；（Ⅲ）证明：

Answer 1

（1） ；（2）见解析；（3）见解析.

（1）利用递推关系式找出相邻项的关系，从而利用数列的概念求出数列通项公式；(2)先化简所给式子，然后利用式子构造递推式子，作差化简得到等差数列中项的式子即可证明；(3)利用放缩法证明不等式，证明时要注意适当放缩。 解：（1） ， 故数列 是首项为2，公比为2的等比数列。 ， （2） ， ① ② ②—①得 ，即 ③ ④ ④—③得 ，即 所以数列 是等差数列 （3） 设 ， 则