求齐次方程的通解xy′-y-√(y²-x²)=0

Answer 1

齐次方程的通解xy′-y-√(y²-x²)=0为。
解：因为xy′-y-√(y²-x²)=0，
那么等式两边都除以x可得，
y'-(y/x)-√((y/x)²-1)=0
那么令y/x=m，则y=mx，
那么 y'=(mx)'=m'x+m
把y/x=m以及y'=m'x+m代入y'-(y/x)-√((y/x)²-1)=0可得，
m'x+m-m-√(m²-1)=0，即m'x-√(m²-1)=0
即dm/dx*x-√(m²-1)=0
则dm/√(m²-1)=dx/x，
积分可得， ln[m+√(m²-1)]=lnx+lnc=lncx
即√(m²-1)=cx-m
又m=y/x，那么
√((y/x)²-1)=cx-y/x
即y=(cx)²/2+1/(2c)
(x>0)
扩展资料：
微分方程的解
1、一阶线性常微分方程的解
对于一阶线性常微分方程y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解为y=C(x)*e^(-∫p(x)dx)。然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。
2、二阶常系数齐次常微分方程的解
对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解。
对于二阶常系数齐次常微分方程y''+py'+qy=0，可求得其通解为y=c1y1+c2y2。
然后可通过其特征方程r^2+pr+q=0来求解二阶常系数齐次常微分方程的通解。
（1）当r1=r2，则有y=(C1+C2*x)e^(rx)，
（2）当r1≠r2，则有y=C1*e^(r1x)+C2*x*e^(r2x)
（3）在共轭复数根的情况下，y=e^(αx)*(C1*cos(βx)+C2*sin(βx))
参考资料来源：百度百科-微分方程