已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值10，（1）求实数a，...

Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值10， （1）求实数a，b的值； （2）若方程f（x）=m在区间[-1，2]内有解，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）对函数f（x）求导得
f′（x）=3x2+2ax+b，
又∵在x=1时f（x）有极值10，
∴得f′(1)=0f(1)=10，即3+2a+b=01+a+b+a2=10，
解得
a=4b=-11或
a=-3b=3，
验证知，当a=-3，b=3时，在x=1无极值，
∴a=4b=-11．
（2）由（1）得f（x）=x3+4x2-11x+16，
∴f′（x）=3x2+8x-11=（x-1）（3x+11），
∴当x∈[-1，1]时，函数f（x）单调递减，当x∈[1，2]时，函数f（x）单调递增，
又f（-1）=30，f（1）=10，f（2）=18，
∴f（x）∈[10，30]，
∵方程f（x）=m在区间[-1，2]内有解，
∴m∈[10，30]．