概率论——大数定律与中心极限定理

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大学数学课程中，大数定律与中心极限定理是概率论的重要内容，它们分别研究随机变量的均值收敛与分布趋近。以下是这两个定理的概述：

1. **切比雪夫不等式**：它是大数定律的基础，用于估计随机变量与期望值偏离的概率。通过示性函数，随机事件与随机变量X建立对应，其期望值等于事件发生的概率。马尔可夫不等式和切比雪夫不等式提供了关于随机变量超过某个值的概率的上界。

2. **大数定律**：研究的是大量随机变量的均值如何逼近其期望值。马尔可夫大数定律、切比雪夫大数定律和独立同分布大数定律分别针对不同条件下的收敛性。

3. **中心极限定理**：关注的是随机变量和其均值的分布趋近，如林德贝格-勒维中心极限定理，它指出独立同分布随机变量的和在大样本情况下近似正态分布。

4. **具体形式**：如林德贝格中心极限定理和李雅普诺夫中心极限定理，即使在独立不同分布的条件下，中心极限定理依然适用，但条件有所不同。

通过这些定理，我们可以理解和预测大量重复实验中随机变量的统计行为，展示了概率论在描述自然现象和数据处理中的强大作用。