设y=(e²+sinx)ˣ,求dy|x=0

Answer 1

【计算答案】dy|(x=0)=2dx

【计算技巧与思路】我们运用自然对数的性质，可以将(e²+sinx)ˣ用自然对数ln来表示。即

此时，该函数可以看成是由下列函数复合组成：

y(u)=e^u  对应的微分为  dy=d(e^u)=e^u du

u(x)=v(x)·w(x)  对应的微分为  du=v(x)dv·w(x)+v(x)·w(x)dw

v(x)=x 对应的微分为  dv=dx

w(x)=ln(e²+sinx) 对应的微分为  dw=cosx/(e²+sinx)dx

然后，运用微分的链式法则，计算dy，即

dy=dy/du·(du/dv·dv/dx+du/dw·dw/dx)dx

最后，求dy|x=0的微分值。

【计算过程】

【本题知识点】

1、复合函数。复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数，u、v都是中间变量。

2、复合函数的微分（链式法则）。

3、本题涉及到基本函数的微分

1）d(e^x)=e^xdx

2）d(lnx)=1/xdx

3）d(sinx)=cosxdx

4) d(u·v)=v·du+u·dv

Answer 2

这种类似x^x的求导，往往可以先取对数进行简化：lny=xln(e^2+sinx), 求导得: y'/y = ln(e^2+sinx) + x * cosx / (e^2+sinx); 所以 y'=(e^2+sinx)^x * [ln(e^2+sinx) + x * cosx / (e^2+sinx)], 代入x=0, 可得y'=ln(e^2)=2, 供你参考，望采纳

Answer 3