样本均值的方差是多少？怎么证明？

Answer 1

证明如下：

设X为随机变量，X1,X2,...Xi,...,Xn为其n个样本，DX为方差；

根据方差的性质，有D(X+Y)=DX+DY，以及D(kX)=k^2*DX，其中X和Y相互独立，k为常数；

样本均值为ΣXi/n，则样本均值的方差为D(ΣXi/n)；

于是：

D(ΣXi/n)=D(1/nΣXi)=1/(n^2)D(ΣXi)

=1/(n^2)·n·D(X)=D(X)/n)

=1/nD(X）

因此，样本均值的方差为1/nD(X)，此为样本均值的性质之一。

扩展资料：

样本均值的性质：

1、X1,X2,...,Xn是取自总体的样本，则E(Xi)=u，D(Xi)=σ^2，E(Xi)=u，D(Xi)=σ^2；E(X¯)=u，D(X¯)=σ^2/n。

2、样本均值的抽样分布在形状上却是对称的。随着样本量n的增大，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，其分布的数学期望为总体均值μ，方差为总体方差的1/n。

3、设总体共有N个元素，从中随机抽取一个容量为n的样本，在重置抽样时，共有N·n 种抽法，即可以组成N·n不同的样本，在不重复抽样时，共有N·n个可能的样本。