高中数学中的排列组合问题

Question

10个优秀指标分配给6个班级共有多少种分配方法？（每班的指标数不限）

我们老师讲用隔板法（如下图所示，“＃”表示指标，“○”表示没有指标）

板书如下：
＃①＃②＃③＃④＃⑤＃⑥＃⑦＃⑧＃⑨＃⑩○⑾○⑿○⒀○ ⒁○⒂○

我们数学老师说在十个指标的基础上，再补上六个空白的○表示没有得到指标，于是相当于总共有16个指标，运用隔板法，在15个缝隙（已用数字标出）中取5个，即C（15取5）

但感觉好像不是很对，例如，假设有一个班级拿到了全部的10个优秀指标，然后其余每个班拿一个空白指标（就是没有指标），即当隔板取在⑩、⑾、⑿、⒀、⒁时，必定会有一个班拿到两个空白的指标。

我的意思是只需要补充5个○就可以了，而不是补上6个○
即＃①＃②＃③＃④＃⑤＃⑥＃⑦＃⑧＃⑨＃⑩○⑾○⑿○⒀○ ⒁○

在14个缝隙中取5个，即C（14取5）

如果看不懂我的叙述，那么请直接帮忙算出答案来
我知道只需要5个挡板就行了，我想知道的是到底需要添上5个还是6个空白指标，即是C（15取5）还是C（14取5）

yimki ，你说“预先给每个班一个○ ,把它也当成一个名额,变成总共有15个名额”意思好像是应该补上5个名额（10+5=15），但你接下来的意思就不清楚了，为什么总共15个名额有15个空隙？

如果补上6个空名额，既如图
＃①＃②＃③＃④＃⑤＃⑥＃⑦＃⑧＃⑨＃⑩○⑾○⑿○⒀○ ⒁○⒂○

假设一个班拿到全部的10个名额，即5个隔板有一个必须在⑩处，剩余的4个隔板要在⑾，⑿，⒀，⒁，⒂的5个位子中挑4个，既仅一个班拿到全部的10个名额的组合将会有C（5取4）种重复情况

因此我坚持认为只需要添上5个空名额即可，是C（14取5）

Answer 1

C（15取5）
为什么要6个空白指标?
关键在于:每个班会分配名额,而在不补指标,用挡板去分配的时候,每个班至少会分到一个名额.你想想就是在空隙地方放上挡板,就像切东西一样.
而现在分配指标时,要求名额不限,也就是说有些班级会有可能分不到名额,为了还可以使用挡板法,预先给每个班一个○ ,把它也当成一个名额,变成总共有15个名额,拿着它们一起去分配,也即C（15取5）,而每个班实际分到的名额是分的名额再减去一个,这样就可以出现有些班级没有分到名额.

Answer 2

你们老师所谓的隔板法讲的并不准确.
挡板应该是5个,5个挡板才能刚好把原来的优秀指标分成6个部分(当然可能有的部分为0).所以说把挡板和指标摆在一起,一共15个位置,挡板怎么放都能把指标分成6份,所以为C(15,5).
你们老师的讲法很不妥当.