椭圆柱的体积怎么求

Question

这是一个关于储油罐体积的问题，我想问当油加到1米高的时候会有多少升油

Answer 1

椭圆面积公式S= ab（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.
用面积乘以高就是体积

椭圆面积公式的推导

椭圆面积公式S= ab（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中学数学教材中，仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过，直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初等数学方法作两种推导，供读者参考.
定理1. 若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平行直线的任一直线所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两个平面图形的面积比等于截得线段长的比 .
注：此定理相当于祖暅原理的推论，故证明从略.
方法一：设椭圆C的方程为 （a>b>0）,辅助圆C 的方程为x2+y2=b2,且一直线L：y = m（ ）与两曲线相交,交点分别为M（x1 , m）、 N（x2 , m）及P（x3 , m）、Q(x , m)，如图1.
由 解得 x = ，
此时， = ；
由 解得x =± , （图1）
此时， =2 .
、当 ,即b=|m|时，交点为（0，b）或（0，-b）；
、当 ，即b≠|m|时，有 .
显然 是一种特殊情况，即直线L与两曲线C、C 交于一点，此时与求椭圆C的面积无影响，故可忽略；在情况 下，即椭圆C的弦长|MN|与圆C 的弦长|PQ|比恒为定值 时，则当设椭圆C与圆C 的面积分别为S、S 时，由定理1得 = ，又圆C 的面积S =πb ，故有 S = S = πb =πab .
所以椭圆C的面积公式为 S =πab （其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.
注：此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形，若被平行于两平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例，当已知线段长的比值时，则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积.

定理2.若一平面图形M 是另一凸平面图形M的射影，且凸平面图形M与射影平面图形M 所成角为 , 则射影平面图形M 的面积与凸平面图形M的面积比为cos .
证明：设平面图形M 是平面图形M的射影 .1 当平面图形M是凸曲边行时，如图2，将平面图形M的边缘进行n+1等分， 设分点分别为A 、A 、A 、…、A 、A 、
…、A 、A ，它们分别在平
面图形M 上的射影为A 、A
…、A 、A 、…、A 、A ,
则分别连结点A 、A 、A 、…
、A 、A 、…、A 、A ，然
后再将点A 分别与点 A 、A 、
…、A 、A 、…、A 、A (图2)
连结得△A A A 、△A A A 、…△A A A 、…、△A A A .显然它们在平面图形M 上的射影分别是对应的△A A A 、△A A A 、…、△A A A 、…、△A A A 由于平面M与平面M 所成角为 ，则△A A A 、△A A A 、…、△A A A 、…、△A A A 所在平面与△A A A 、△A A A 、…、△A A A 、…、△A A A 所在平面所成角均为 ，现分别记△A A A 、△A A A 、…、△A A A 、…、△A A A 及△A A A 、△A A A 、…、△A A A 、…、△A A A 的面积为S 、S 、…、S 、…、S 及 S 、S 、…、S 、…、S . 则有S = S con 、S = S con 、…、 S = S con 、…、S = S cos .
当分点无限增加时, 则S 、S 、…、S 、…、S 及S 、S 、…、S 、…、S 的和就分别无限地接近凸曲边形M的面积和射影平面图形M 的面积， 故有
S = ( S +S +…+S +…+S )
= ( S cos + S cos +…S +cos +…+S cos )
= ( S +S +…+S +…+S ) cos
=S cos .

2 当平面图形M是凸多边形时，则在凸多边形M内取适当的点连结出不重叠的三角形，仿上易证，故略 .
方法二：我们知道，在一
圆柱上作一斜截面可得一椭圆面，
如图3. 设圆柱oo 的底面直径
A B =2 b, 斜截面椭圆的长轴长
A B =2a, 椭圆面M 与圆柱底面
M所成角为 ，将椭圆周n+1等
分，设其分点分别为P 、P 、…
、P 、P 、…、P 、P , 在底 （图3）
面圆周上的 射影分别为P 、P 、…、P 、P 、…、P 、P ,分别连结点A、P 、P ；A、 P 、P ；、…；A、P 、P ；…;A 、 P 、P 及点A、P 、P ；A、P 、P ；…；A、P 、P ；…; A、P 、 P 。设椭圆面的面积及圆柱底面面积分别为 S 、S，因为圆柱底面面积S = b .且b =a cos ,则仿定理2可证 S= = b = ab . 故椭圆的面积公式为 S= ab . （其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.

注：此法还适应于可展为平面图形的曲面图形与其射影平面图形间，当已知一曲面图形形成的侧面母线与其射影平面图形所成定角的大小时，则可利用定理2由一已知图形面积求另一图形面积（如圆锥、圆台的侧面面积亦可由底面面积求得）.

Answer 2

楼上解答的是椭圆面积公式的推导，楼主需要的是油罐中贮油高度为一米时罐内有多少油，没有说到一块，就是有了公式，在某一高度的椭圆面积，还需要定积分去计算，显然不是楼主说要求和能够胜任的。

这里来一个楼主能够解决的办法：

1、买几张马粪纸板，找一个平整的场地铺开，用胶带 纸合缝。

2、在马粪纸板上，画出椭圆的图形，可以采点画图，点数多一点好，力求准确。

3、定出需要知道的贮油高度画线，可以多画几个高度，然后按画线切开纸版，按照从低到高，称出椭圆面积之内的纸版总量，并逐一记录。力求称量准确。

4、按照一张完整的纸版面积和重量，不难推算出椭圆之内每一高度的椭圆面积，有了面积再乘以罐体长度，就能够算出这个高度的贮油体积。

5、如果能够看明白，在纸版上画图时，画出1/2 甚至1/4 个截面也能够推算。

6、这个笨办法如何？

Answer 3

也用底面积*高
面积S=ab派【a为半长轴长，b为半短轴长，派就是3.14那个，不会打，见谅】
注意有派

Answer 4

先用微积分求出椭圆面积，再乘以高度