椭圆复变函数论（三）围道积分理论(2)-高阶柯西积分公式

Answer 1

在前面的文章中我们推导了 Cauchy 积分定理以及 Cauchy 积分公式。

本文将继续深入研究高阶的 Cauchy 积分公式，并研究相关应用。

定理1-1：设区域由有限条简单闭曲线为边界，函数在该区域上解析，则对任何点有 Cauchy 积分公式。

在此基础上，定理1-2推导出高阶 Cauchy 积分公式，即在区域内的函数在内有任意阶导数，并有公式表示。

定理2-1应用于以特定边界为界的闭椭圆盘上的解析函数，证明了柯西不等式。

定义2-1解释了在复平面上解析的函数类型，并引入了刘维尔定理。

定理2-3为代数基本定理的椭圆复数域版本，证明了任意次数代数方程至少存在一个根。

定理2-4是柯西积分定理的逆定理，证明了若函数在区域内的所有简单闭曲线上的积分都为零，则该函数在区域内解析。

定义3-1介绍了二元实函数在区域内的p-调和性质，定理3-1指出椭圆复变函数解析时其实部和虚部均为p-调和。

定理3-2指出在单连通区域内，函数解析的充要条件为共轭p-调和函数满足特定条件。

总结了本课题对椭圆复变函数上积分理论的研究，包括基本定理和公式，以及相关应用。

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