线性代数图书目录

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本线性代数教材详细介绍了矩阵和行列式、n维向量、线性方程组、矩阵的特征问题与相似对角化、二次型以及线性空间与线性变换等核心概念。以下是对各部分内容的概述：

第1章 矩阵和行列式

本章从矩阵的概念出发，逐步深入探讨矩阵的基本运算，包括加法、数与矩阵相乘、矩阵乘法、方阵的幂、矩阵的转置、共轭矩阵等。随后，章节阐述了方阵的行列式，涉及全排列与逆序数、n阶行列式的定义、行列式的性质和计算方法，以及常见特殊矩阵的介绍，如对角矩阵、数量矩阵、三角形矩阵、对称矩阵、正交矩阵和伴随矩阵。此外，本章还对逆矩阵的定义、性质以及特殊矩阵的逆矩阵求法进行了详细介绍，并讲解了矩阵的分块运算。

第2章 n维向量

本章首先对向量及其基本运算进行介绍，包括向量的概念、运算等。接着，章节深入探讨向量的线性关系，涵盖线性组合、向量组的线性相关性、线性相关性判别等。本章还介绍了矩阵的初等变换与初等矩阵的概念，以及矩阵的秩，包括矩阵的秩、矩阵的秩与向量组的秩的关系等内容。

第3章 线性方程组

本章重点分析线性方程组的解，包括非齐次线性方程组解的存在性、齐次线性方程组解的存在性。进一步，章节探讨了线性方程组解的结构，涉及齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构。此外，本章还阐述了向量的线性相关性与线性方程组解的关系，包括向量组的线性相关性与线性方程组的解、向量的线性表示与线性方程组的解、向量组的线性表示等主题。

第4章 矩阵的特征问题与相似对角化

本章深入探讨向量的度量性质，如内积、向量的长度和夹角。接着，章节介绍线性无关组的正交化，包括正交向量组、线性无关组的正交化、单位化和正交矩阵。随后，本章详细讲解特征值与特征向量的概念、求法与性质，以及相似矩阵的定义、性质和实对称矩阵的对角化。

第5章 二次型

本章首先定义二次型及其矩阵表示，涉及二次型的概念、矩阵形式和矩阵的合同。接着，章节讲解了化二次型为标准形的方法，包括用配方法、初等变换和正交变换化二次型为标准形。此外，本章还探讨了实二次型的正定性，涉及实二次型有定性的概念、正定二次型（正定矩阵）的判别。

第6章 线性空间与线性变换

最后，本章介绍了线性空间及其子空间的概念、线性空间的基本性质和子空间的定义。随后，章节探讨了维数、基与坐标，涉及线性空间中向量的线性关系、生成子空间、维数、基与坐标的概念。此外，本章还详细阐述了基变换与坐标变换、线性空间的同构，包括映射的概念、映射的相等、满射、单射与双射、映射的乘法、可逆映射以及同构映射与线性空间的同构的概念。接着，本章深入分析了线性变换的定义、性质、矩阵表示、运算方法及其与矩阵的关系。

扩展资料

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。