将2,3,4,5,…,107,108按某种顺序排成数列,a1,a2,…,a107,使a2能被2整

Question

,a3能被3整除,a4能被4整除，……，a107能被107整除,这样的数列有多少种排法?

Answer 1

本质是排列组合的问题，就是2-108这107个数和a1-a107这107个位置，哪些数能放到哪些位置里的问题。要求放在ak的数能被k整除，即k是放在ak的数的因数，即放在ak的数是k的倍数。
1.首先，55-107都必须一一对应的放在a55-a107，因为，以55为例，如果55不放在a55，那么放在a55的数要是55的倍数，a55的最小倍数即乘以2即110已经超出108了，那么a55这个位置就找不到数放了，所以55必须放在a55，56-107同理。
2.那么现在剩下2-54及108这54个数，和a1-a54这54个位置，怎么对应放的问题。同1.的思路，28-53都必须一一对应的放在a28-a53里，因为，以28为例，如果28不放在a28，则a28要放28的倍数，在题目范围以内的，28两倍是56，三倍是84，先不说已经超出2.的范围（2-54,108），即便不考虑2.的范围，56，84已经被固定了，原因见1.。
3.那么现在剩下2-27及54及108这28个数，和a1-a27及a54这28个位置，怎么对应放的问题。相同的思路，14-26都必须一一对应的放在a14-a26.
4.那么现在剩下2-13及27及54及108这15个数，和a1-a13及a27及a54这15个位置的对应问题。相同思路，7-13和a7-a13一一对应。
5.那么现在剩下2-6及27及54及108这8个数，和a1-a6及a27及a54这8个位置的对应问题。相应的4-6和a4-a6一一对应。
6.现在是这个问题的真正面貌了，问你2、3、27、54、108和a1、a2、a3、a27、a54对应放，要求ak能被k整除，有几种方法。从位置下标的入手当然简单，a54只能放54和108即只有两种放法，a27可以放27、54、108，a3可以放3、27、54、108，a2可以放2、54、108，a1可以放全部。然后列个树状图（按下标倒序比较简单），可以知道有10种。
所以，综上所述，这样的数列有10种排法。
PS：个人思路，纯手打，希望有帮助。