已知函数f(x)=ln(ax+1)+2/(x+1)-1 （x>=0,a>0) (1)求f(x)的单调区间

Question

已知函数f(x)=ln(ax+1)+2/(x+1)-1 （x>=0,a>0)
(1)求f(x)的单调区间

(2)若函数g(x)=1/3bx^2-bx当a=1且b<0时，对于任意x1∈（0,1），总存在x2∈（0,1）使得f(x1)=g(x2),求实数b的取值范围。

Answer 1

f(x)=ln(ax+1)+2/(x+1)-1 x≥0,a>0
f'(x)=a/(ax+1)-2/(x+1)²=(ax²+a-2)/(ax+1)(x+1)²
当a-2≥0→a≥2时 f'(x)≥0 f(x)全定义域单调递增
0<a<2时
驻点：x₀=√(2-a)/a
0<x<x₀ f'(x)<0 f(x)单调递减
0<x<x₀ f'(x)>0 f(x)单调递增 （开口向上的抛物线右侧零点左边<0 右侧>0)
(2)若函数g(x)=⅓bx²-bx 当a=1且b<0，对于任意x₁∈(0,1)，总存在x₂∈(0,1)使得f(x1)=g(x2),求实数b的取值范围
f(x)=ln(x+1)+2/(x+1)-1
驻点：x=1 极小值=ln2
f(0)=1
∴f(x)∈(ln2,1)
g(x)=⅓bx²-b=⅓b(x-1.5)²-3b/4
开口向下，对称轴x=1.5 区间位于对称轴左侧，单调递增
g(0)=-b g(1)=-⅔b
g(x)∈(-⅔b,-b)
∴-⅔b≤ln2 -b≥1
-1.5ln2≤b≤-1