已知函数f(x)=ax 2 +bx+c(a＞0，b∈R，c∈R)，(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0，且c=1，F(x)= ，求F(2)+

Question

已知函数f(x)=ax 2 +bx+c(a＞0，b∈R，c∈R)，(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0，且c=1，F(x)= ，求F(2)+F(-2)的值；(2)若a=1，c=0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

解：(1)由已知c=1，f(-1)=a-b+c=0，且- =-1，解得a=1，b=2， ∴f(x)=(x+1) 2 ， ∴F(x)= ， ∴F(2)+F(-2)=(2+1) 2 +[-(-2+1) 2 ]=8； (2)由题知f(x)=x 2 +bx，原命题等价于-1≤x 2 +bx≤1在x∈(0，1]上恒成立， 即b≤ -x且b≥- -x在x∈(0，1]上恒成立， 根据单调性可得 -x的最小值为0，- -x的最大值为-2， 所以-2≤b≤0。