又一个二重积分，奇偶性问题

Question

f(x)为奇函数，问∫dx∫xf(u)du的奇偶性， 都为变限积分x上下限（y a) u上下限（x a) 这里∫xf(u)du的我十分不理解，理应f(u)为奇，∫f(u)为偶，x为常数，∫xf(u)应为常数×偶函数，依旧为偶才对啊，然后∫dx∫xf(u)du的为偶函数的变限积分在没确定积分下限非... f(x)为奇函数，问∫dx∫xf(u)du的奇偶性， 都为变限积分x上下限（y a) u上下限（x a) 这里∫xf(u)du的我十分不理解，理应f(u)为奇，∫f(u)为偶，x为常数，∫xf(u)应为常数×偶函数，依旧为偶才对啊，然后∫dx∫xf(u)du的为偶函数的变限积分在没确定积分下限非零的理应无法判别奇偶性，但是答案是偶。。我十分不解，望解释= =附图如下 展开

Answer 1

证明：
设
F(x)
=
[x,a]∫f(u)du
；[x,a]表示积分限下限为a，上限为x
F(y)
=
[y,a]∫dx*[x,a]∫xf(u)du
=
[y,a]∫x*F(x)*dx
首先证明F(x)的奇偶性
F(-x)
=
[-x,a]∫f(u)du
设
u
=-v，则上式变为：
F(-x)
=
[x,-a]∫f(-v)d(-v)，由于f(v)为奇函数，f(-v)
=
-f(v)，因此
F(-x)
=
[x,-a]∫f(v)dv
=
[x,a]∫f(v)dv
+
[a,-a]∫f(v)dv
=
F(x)
+
0
=F(x)
即：F(x)
为偶函数
同样：
F(-y)
=
[-y,a]∫x*F(x)*dx，
令
x=-z，则有：
F(-y)
=
[y,-a]∫(-z)F(-z)*d(-z)
=
[y,-a]∫zF(z)dz
=
[y,a]∫zF(z)dz
+
[a,-a]∫zF(z)dz
=
F(y)
+
0
=F(y)
因此F(y)为偶函数，即[y,a]∫dx*[x,a]∫xf(u)du
为偶函数