转正定级表、行政介绍信、工资转移单有什么作用？

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看具体是什么性质的单位转到什么性质的单位。如果是正规的机关事业单位或大型国企转人事关系的手续确实相当复杂。
机关事业单位正式转人事关系，一般转移三大关系，即行政关系、组织关系和工资关系。三大关系都要开正规的介绍信，由组织人事部门专人办理。你所说的行政介绍信、工资转移单就是转移行政关系、工资关系的必备文书。程序、文书上各地大同小异。但从你现在说的情况看，这两个文书应该是第二个单位开给第三个单位才对。第三个单位要看第一个单位的转关系文书很是费解。
至于转正定级表，确实很久没有要求这个东东了，当时主要是事业单位确定人员级别用的。并不是不可以补，但这个也不是证明干部身份的必备要件。按说进正规单位人事部门就会要求填干部履历表，这个能更好说明你的干部身份，是人事档案必备的。第一个单位说的聘用制干部证明应该也可以作数。此外从工资登记表也可以看出你当时定的级别。
派遣证原件要求是放在人事档案里面的，这个应该不存在问题。
从你的问题来看，你的第一个单位当时人事工作做得不到位；第二个单位要求不严格；第三个单位要求又过于刻板。建议：切记不可与第三个单位组织人事部门发生争执，因为人家这样要求肯定单位有相应规定，既然进了这个单位，服从单位规定是必须的。应该与负责这件事的人员充分沟通，看到底需要确定什么问题，很多需要确定的问题如参加工作时间、定级情况、录用时身份都可以有其他材料证明的，只要不是必备要件应该都可以采取变通方式解决。